中学数学开放题探析

方千

摘要:近几年各类数学考题都突出了对学生数学创新能力的考查,新的题型不断出现,“中学数学开放题”就是其中重要的一种,本文就“中学数学开放题”从几方面作一些探析。

关键词:数学开放题特点分类教育功能

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2012)06(c)-0120-01

1 中学数学开放题的概念界定

传统的中学数学题基本上是封闭题,封闭题是指条件恰当,答案固定的习题。什么是“中学数学开放题”呢？目前尚无定论的问题,比较相同的看法是:开放题的答案不唯一,能否以此作为“中学数学开放题”的定义呢？有人对此提出疑问,一元二次方程的解也不唯一,那么解一元二次方程这类习题也算开放题吗？看以下例子:

例1:解方程

“解方程”一词的含义是求出所有使方程成立的未知数的值。上例中,尽管方程有两个解(1和2),但其中任意一个不能独立成为问题的正确答案。因此,例1的答案是唯一的,是一道封闭题。

如果我们改变这个问题的设问方式,试尽可能多地找出使等式成立的实数x。对于已经学习过“一元二次方程”的学生,我们根本没有必要把问题叙述得如此复杂,而对于从未学过这一知识的学生来说,但可以用其他的方法找出方程的一个解或两个解,这一个解或两个解都可以成为正确答案,因此已基本具备开放题的特征,可a以认为是一道开放题。

通过分析,我们可以对“中学数学开放题”的概念给出以下的一个描述性的界定:中学数学开放题是指那些答案不唯一,并在设问方式上要求学生进行多方面,多角度,多层次探索的数学问题。

2 中学数学开放题的特点

在讨论了开放题的概念以后,进一步考察它的特点,这有助于我们对它有更深的认识。中学数学开放题一般具有以下5个特点。

2.1 问题的条件常常是不完备的或者充足多余

一个开放题的条件可以不足,也可以多余。条件不足要求学生予以补充,条件多余要求学生选择。

例2:(辽宁省中考试题)AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE⊥BC于E点,由这些条件,你能推出哪些正确结论？

解答本题,由AB是⊙O的直径,⊙O过AC的中点或者使用已知的三个条件推导∠A＝∠C,这样条件DE⊥BC多余,但多余的条件使本题的解题策略具有开放性。

2.2 问题的答案是不确定的,具有层次性

开放题解答的多样性,决定了它能够满足各种层次水平的学生的需求,使他们可以在自己的能力范围内解决问题,从而体现出层次性。

例3:有一块3×4矩形的地,请在这块地上设计花园,使其面积是这块地的面积的一半,并使图形具有对称性的美感。

笔者将此题出给某校初二、高一学生解答,他们在思考与作图时,很好地利用了图形的对称性画出了美丽的图形,发现了多种不同的答案。图1是其中的几种。

2.3 问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性

解答开放题时,往往没有一般的解题模式可以遵循,有时需要打破原有的思维模式,从多个不同的角度思考问题,有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。

例4:宴会上有5个客人,如果每人同所有其他客人握手,共会有多少次握手？10人呢？20人呢？n个人呢？

本题来源于华东版初中数学辅助教材,在解答它时,就没有一般的解题模式可以遵循。有的学生可以选择实验一下这个问题；有的学生可能会画一个凸五边形,如图2,有多少条边和多少条对角线来近似描述这个问题；其他学生可以从简单的表格来寻找规律……

2.4 问题的研究具有探索性与发展性

对一个开放题的研究与封闭题有很大的不同,这主要体现在对答案的探索性和问题本身可层层发展成为一系列的问题。

例5:家庭或公共场所在装饰地面时,常常用各种正多边形形状的地砖铺砌成形式多样的图案。这种用形状相同或不同的平面封闭图形,把一块地面既无缝隙,又不重叠地全部覆盖,在几何里面叫做平面镶嵌,问:单独使用正几边形可以平面镶嵌。

尽管本题只有三种答案:正三角形,正四边形,正六边形。但要找到全部三个解答却需要一个较长的探索过程。不仅如此。本题还可进一步发展出两个问题:(1)用两种正多边形可以镶嵌吗？(2)一般的凸多边形可以镶嵌吗？

2.5 问题的教学具有参与性和学生主体性

由于开放题没有固定的标准答案,这就使得教师在课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法。学生的主动参与解题活动不但成为可能,而且是非常自然和必要的。例如,在例3的教学中,如果教师仍然采用“灌输式”的方法一个一个地介绍几十个答案,必将会受到来自学生的反对,一些学生早已用自己的方法找到了教师还来不及讲的,甚至是教师事先根本没有预料到的答案,他们希望老师与学生一起分享成功的喜悦,这就使课堂教学自然地走向了以学生主动参与为主要特征的教学。以上是开放题的五大特点,它为讨论开放题的类别打下了基础。

3 中学数学开放题的分类

开放题共分四类:(1)若其未知的要素是假设,则为条件开放题；(2)若其未知的要素是推理,则为策略开放题；(3)若其未知的要素是判断,则为结论开放题；(4)有的问题只给出一定的情景,其条件,解题策略与结论都要求主体在情景中自行设定与寻找,这类题称为综合开放题。

4 中学数学开放题的教育功能

开放题的教育功能主要有以下四个方面。

(1)开放题为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观念来表达的机会,这和他们在数学学习中的发展是一致的。(2)开放性问题要求学生构建自己的反映而不是选择一个简单的答案。(3)开放性问题允许学生表达他们对问题的深层次理解,这是在多项选择中是无法做到的。(4)开放性问题鼓励学生用不同的方法去解决问题,反过来要求老师用不同的方法解释数学概念。

参考文献

[1] 戴再平.高中数学开放题集[M].上海:上海教育出版社,2002.

[2] 戴再平.开放题—— 数学教学的新模式[M].上海:上海教育出版社,2002.

[3] 贾太珍,江启秀.“非常规问题”及其教学策略[J].中学数学教学参考,2000.