联想证明不等式

2012-04-29 01:20洛桑扎西
数学学习与研究 2012年21期
关键词:结构特征不等式证明

洛桑扎西

【摘要】本文根据一些不等式的结构特征,从多个维度列举了证明不等式的新技巧、新方法.

【关键词】不等式;证明;结构特征

1.联想函数

例1 设a1,a2,…,a璶都是正数,证明对任意正整数n,不等式(a1+a2+…+a璶)2≤n(a21+a22+…+a2璶)均成立.

证明 原不等式即为4(a1+a2+…+a璶)2-4n(a21+a22+…+a2璶)≤0,由此结构联想到一元二次函数根的判别式而构造函数f(x)=(a21+a22+…+a2璶)x2+2(a1+a2+…+a璶)x+n.

因为f(x)=(a1x+1)2+(a2x+1)2+…+(a璶x+1)2≥0,

且二次项系数a21+a22+…+a2璶>0,故

Δ=4(a1+a2+…+a璶)2-4n(a21+a22+…+a2璶)≤0,

即(a1+a2+…+a璶)2≤n(a21+a22+…+a2璶).对任意正整数n均成立.

点评 本题证法不少,但都较繁,我们通过观察问题结构联想到函数,利用二次函数图像与判别式的关系,使证明简洁流畅.

2.联想方程

例2 已知2b-2c=a,求证:b2≥4ac.

证明 由b2≥4ac联想到一元二次方程有实根,而已知条件可化为:

a-2[]22+b-2[]2+c=0,a-2[]22+b-2[]2+c=0有实根-2[]2,

于是b2-4ac≥0,即b2≥4ac.

点评 本题常规证法虽不难,但通过联想方程有解,达到证题目的,这对培养学生的创造力大有益处.

3.联想三角

例3 已知a,b,c为三角形的三边,且a2+b2+c2=0,n∈N*且n>2.求证:c琻>a琻+b琻.

证明 由a>0,b>0,c>0,a2+b2=c2得a[]c2+b[]c2=1,可联想到三角中sin2α+cos2α=1,故设a[]c=cosα,b[]c=sinα,0<α<π[]2,则有a[]c琻+b[]c琻=cos琻α+sin琻α

故a琻+b琻

点评 从结论变形a[]c琻+b[]c琻<1联想到指数函数,进一步利用函数单调性,也可使问题顺利解决.

4.联想距离

例4 x∈R,证明:x4-3x2-6x+13-x4-x2+1≤10.

证明 见到根号,联到距离公式,将左边变形为y=x-3)2+(x2-2)-x2+(x2-1)2,则y可看成动点P(x,x2)(它在抛物线y=x2上运动)与定点A(3,2),B(0,1)的距离之差,即y=|PA|-|PB|.

由它的几何意义,有y≤|AB|=10,显然当P点为AB的延长线与抛物线的交点时,y取到最大值.

点评 联想距离,将距离的和或差结合几何图形进行合理转化,这种思想方法在求解值域及最值问题中经常用到.

5.联想斜率

例5 求证:-2[]4≤sinx[]cosx-3≤2[]4.

证明 式子sinx[]cosx-3变形为0-sinx[]3-cosx,可联想到直线斜率,其意义为:点A(3,0)与点M(cosx,sinx)的连线斜率,而M点的轨迹是圆x2+y2=1.当直线AM与圆相切时,斜率取到最大值2[]4或最小值-2[]4.故-2[]4≤sinx[]cosx-3≤2[]4.

点评 本题也可用三角函数的有界性解答,但联想斜率往往可使解答过程简洁直观.

6.联想曲线

例6 求证:-4[]3≤4-9x2-2x≤213[]3.

证明 由4-9x2的结构特点,联想到椭圆方程.令y=4-9x2(y≥0),则其图像是x2[]4[]9+y2[]4=1的上半部分.

再设y-2x=m,因为m为直线y=2x+m在y轴上的截距,于是问题转化为过椭圆上半部分的点且y斜率为2的直线在y轴上的截距的最值.显然,当直线y=2x+m过点2[]3,0时,

m有最小值m=-4[]3;当直线y=2x+m与椭圆上半部分相切时,m有最大值.

由y=2x+m,

9x2+y2=4,

得13x2+4mx+m2-4=0.

令Δ=4(52-9m2)=0,得

m=213[]3,或m=-213[]3(舍).

∴-4[]3≤4-9x2≤213[]3.

点评 联想圆锥曲线,结合线性规划的思想,将问题转化为直线截距的最值,是解此问题的有效途径.

7.联想几何体

例7 已知锐角α,β,γ,满足cos2α+cos2β+cos2γ=1.求证:tanαtanβtanγ≥22.

证明 由cos2α+cos2β+cos2γ=1联想到长方体的对角线与过同一顶点的三条棱的夹角满足该关系式,则可构造长方体,使三棱长分别为a,b,c,对角线与这三条棱所成的角分别为α,β,γ,于是有

tanα=b2+c2[]a,tanβ=c2+a2[]b,tanγ=a2+b2[]c,

所以tanαtanβtanγ≥2bc[]a·2ca[]b·2ab[]c=22.

点评 熟悉长方体对角线的有关性质是合理联想的前提,在立体几何中,经常需要把角、线段等移植到几何体中,通过对几何体的直观分析,使问题容易获得解决.

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