不容忽视的“定义域”

成兵

【摘要】定义域是函数的三要素之一，在解题中稍对函数“定义域”考虑不周、忽视、理解不清，都将导致错误，本文就针对学生出现的常见错误进行分析研究.

【关键词】定义域

函数的定义域对于函数而言是一个不容忽视的“永恒”的话题，它是函数的不可缺少的组成部分.研究函数的性质必须从定义域出发，特别是在解决方程、不等式等问题方面起着重要作用.由于函数本身的抽象性，使得许多同学在解题中常会忽视定义域出现一些错误.

一、等号“=”的取舍

例1 当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（1，2]

D.0，1[]2

错解 设f（x）=（x-1）2，g（x）=log璦x，要使当x∈（1，2）时，不等式（x-1）21时，如图，只需f（2）

剖析 因为x≠2，g（x）的图像可以经过点（2，1），所以1

二、概念不清导致的错误

例2 已知f（x）=x2-1，g（x）=x-1，（x>0），

2-x，（x<0），求g[f（x）]的解析式.

错解 由题意，采用代入法，g[f（x）]=x2-2，（x>0），

3-x3，（x<0）.

剖析 对函数的概念缺乏理解，此时g（x）中的“x”与“f（x）”的范围必须是一致时，才满足g（x）的定义域，

正解 ①当f（x）<0时，即x2-1<0，所以-1

②当f（x）>0时，即x2-1>0，所以x>1或x<-1，所以g[f（x）]=x2-2.

综上：g[f（x）]=x2-2，（x>1或x<-1），

3-x3，（-1

三、方法不当导致的错误

例3 求函数y=-x2-3[]x-1在x∈（1，2]的最大值.

错解 由题意得yx-y=-x2-3，所以x2+yx+3-y=0.因为x∈（1，2]，

所以方程有解.所以Δ=y2-4（3-y）≥0，

得y≥2或y≤-6.

又因为x∈（1，2]时，y<0，

所以y≥2（舍去），所以y≤-6.所以y璵ax=-6.

剖析 本题忽略了验证“=”成立的条件，当y=6时，x=3，而3（1，2].

正解 y=-x2-3[]x-1=-（x-1）+4[]x-1-2.

令t=x-1∈（0，1]，易证t+4[]t在（0，1]为减函数，所以y=-t+4[]t-2在（0，1]为增函数，所以当且仅当x=2时，y璵ax=-7.

四、忽视隐含条件导致的错误

例4 已知y=x2，求P=x2+（y-a）2的最小值.

错解 由y=x2知，P=x2+（y-a）2=y+（y-a）2=y2+（1-2a）y+a2.

当y=2a-1[]2时，P取到最小值4a-1[]4.

剖析 上面的解法中正消元的过程中忽视了函数的定义域y≥0.

正解 由y=x2知，P=x2+（y-a）2=y+（y-a）2=y2+（1-2a）y+a2.

①若1-2a≥0，即a≤1[]2时，当y=0时，P取到最小值a2.

②若1-2a<0，即a>1[]2时，当y=2a-1[]2时，P取到最小值4a-1[]4.