巧用换元法求无理函数值域应用问题的探究

樊宏伟

【摘要】换元法是用一种变量形式去取代另一种变量形式，从而把一个函数变为简单函数.本文对用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域的应用问题作些探讨.

【关键词】换元法；无理函数；分式无理函数；求值域的应用

换元法是一种变量代换，其实质是用一种变量形式去取代另一种变量形式，从而把一个函数变为简单函数.所换新元的范围由原函数的定义域及所换元的表达式来确定.本文对用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域作些探讨.

一、形如“y=mx+n±ax+b”的函数

点拨 函数为根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令t=ax+b，将原函数转化为t的二次函数.通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围.

例1 求函数f（x）=x-3+2x+1的值域.解 函数的定义域为x|x≥-12.设t=2x+1，（t≥0），

则x=t2-12，于是y=t2-12-3+t，当t=0时，

即x=-12，y璵in=-72.

当t→+∞时，y→+∞.

所以，原函数的值域为yy≥-72.

二、形如“y=mx+n±ax2+bx+c（a<0，Δ=b2-4ac>0）”的函数

点拨 函数根号内外自变量x的次数不同，又a<0且Δ>0，函数的定义域为闭区间[x1，x2]，一般采用三角换元法求函数的值域.可令x=x2-x12sinα+x2+x12且α∈-π2，π2，即原函数可化为y=Asin（α+φ）+k型函数，可得出函数的值域.至于a>0且Δ>0及其他类型，可自己分析一下.

例2 求函数f（x）=2x-4-x2的值域.

解 令x=2cosα，（0≤α≤π），

则f（x）=4cosα-4-4cos2α=4cosα-2sinα=25sin（φ-α），

其中sinφ=25，cosφ=25.因为0≤α≤π，所以φ-π≤φ-α≤φ.

所以-1≤sin（φ-α）≤sinφ，而sinφ=25.

所以函数f（x）=2x-4-x2的值域为f（x）∈[-25，4].

三、形如“y=max+b±ncx+d，（ac<0）”的函数

点拨 函数的两根号内自变量都是一次或都是二次，且ac<0，函数的定义域为闭区间，如[x1，x2]，则可作代换，令x=（x2-x1）sin2α+x1，且α∈0，π2，即原函数可化为y=Asin（α+φ）型的函数，易得出函数的值域.

例3 已知函数f（x）=1-x+x+3的值域.

解 因为函数定义域为x∈[-3，1]，故1-x∈[0，2]，

所以可设1-x=2cosθ，x+3=2sinθ，θ∈0，π2.

所以y=2cosθ+2sinθ=22sinθ+π4.因为θ∈0，π2，θ+π4∈π4，3π4.

sinθ+π4∈22，1.所以2≤y≤22.故y璵ax=22，y璵in=2.

函数y=1-x+x+3的值域f（x）∈[2，22].

四、无理分式函数f（x）=p（x）q（x）求值域

点拨 根据函数表达式的结构特征选择适当的方法转化为求一个简单函数的值域.其基本思想方法是通过适当的换元，将其转化为我们熟知的函数后求值域.

例4 求函数y=x3（1+x2）3的值域.

解 x∈R，令x=tanα，α∈-π2，π2，

则y=tan3α（1+tan2α）3=tan3αsec6α=tan3αsec3α=sin3α.

因为α∈-π2，π2，所以-1

总之，采用换元法求函数的值域，其目的有两个，一是化简运算过程，避繁求简；二是转化函数的形式，化生为熟.

【参考文献】

[1]缪选民.用三角换元法求两类无理函数的值域.数学教学通讯，2008（4）.

[2]张辉.用换元法求三类无理函数的值域.