“精讲多练”要求下的数学概念的教学

白帆

【摘要】新课改实施以来，各种不同的教学理论，不同的教学方法正在各个学校展开，无一例外的都要求教师在课堂上少讲或者不讲.以“导学稿”教学法为例，课堂上“以教师为主导，以学生为主体，自主学习，主动建构”，但是作为数学知识体系的基础——概念的教学一直让不少教师不敢放手给学生自主习得.本文依据数学概念本身的特点和学生的认知结构，结合笔者教学经验探讨如何才能在精讲多练的要求下做到概念的有效教学.

【关键词】概念；构建；学习

众所周知，数学概念是数学科学知识体系的基础，同时数学概念有是数学思维的一种形式，数学概念的学习与学生对数学知识的掌握、合理的数学认知结构的形成以及数学能力的提高都有密切的相关.因此不少教师在数学概念的教学上仍旧无法舍弃多讲、仔细讲的习惯，由此学生在课堂上的学习负担加重，学习效果却降低.高中数学中的大多数概念是在一些相对具体的概念的基础上，进一步经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的.对概念的定义又大多数是内涵定义，学生在自主学习概念时一般都可以读懂其字面的意思，却很难将其应用到具体问题中.那么在“精讲多练”的要求下，教师应当如何进行数学概念的教学以提高课堂效率呢？

一、通过学生大胆尝试揭示概念的内涵

以往的数学概念教学中，教师从多种背景、多种层次、多个侧面、多维结构等方面去揭示概念的内涵，使学生明确概念的本质属性，但是很多学生即使当时听懂老师的讲解，在遇到自己独立解决某些问题的时候仍然出错，另一方面也会助长学生过分依赖教师的思想，总是认为教师讲得越多越好，越细越好，越易懂越好，习惯了“听”的学生对概念的理解难以深刻.美国心理学家桑代克的尝试错误学习理论告诉我们，有些问题学生没有自己主动提出问题，主动思考，并大胆尝试，就无法真正理解和掌握.

如：初中时学生已经学习解决含绝对值的等式问题，如﹟x|=2，则x=±2，进入高中解决含绝对值的不等式问题时，却出现|x|<2，则x<±2，其原因在于学生对于含绝对值的等式问题的解决已经进入程序化的思维过程，遗忘了绝对值概念的最为基础的定义是|x|=x，x>0，

-x，x<0，

同时没有深入理解“如果a>b，c<0，则ac

又如：在学习面面平行的性质定理“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”时，即便老师强调多次需要的三个条件分别为：∵α∥β，α∩γ=a，│隆搔锚=b，才可以得出a∥b，但是学生却经常会使用为“∵α∥β，a鸡粒琤鸡拢则a∥b”.

以上两个例子说明，即便是老师特别强调的不要理解概念上的误区，学生在解决实际问题r 时候却仍然“执迷不悟”，有些问题必须让学生出错，才能真正明白概念.虽然这样的方法有时在课堂上学生无法完成对概念更深入的学习，但是学生对于概念内涵的理解有时并不是在某一节课就可以完成的，有时需要几天，甚至是几个月的时间才能慢慢掌握，如函数的概念，所以即使在课堂上学生无法尝试到从足够多的角度去理解概念，但是在后续的学习和练习中，学生可以不断地补充，完善自己对于某一概念的理解.

二、通过学生自主建构形成概念的体系

概念体系是一组概念中彼此之间存在的一些特定的数学抽象关系，以往的数学复习课中，教师一般通过概念图的方法，将每一个概念在平面上用一个点对应地表示出来，然后用有向线段把有关系的点连接起来.但这种教师总结出来，学生学习的概念图，充其量仅仅是一个知识梳理的作用，对于学生加深对于概念的理解以及概念彼此之间的抽象关系的掌握并没有帮助，学生必须通过自主建构形成的概念体系才能促进学生对于概念的深入理解.建构主义学习观认为：学习过程不只是信息的输入、存储和提取，而是新旧经验之间的双向的相互作用过程，也是学习者与学习环境之间双向建构的过程.所以概念体系的形成应该是在学习过程中逐渐建构出来的，而不是学习完成之后总结出来的.

如在学习空间点线面位置关系一章中，学习了直线与平面平行的判定与性质后，学生已经掌握的概念如下图：

如此时，学生根据概念图很自然地会思考：面面平行能否得到线面平行？线线平行能否得到面面平行？如果可以得到，需要附加什么条件？从而通过自主探究，建构如下图：

通过笔者日常教学观察，这部分知识由于相对比较集中，概念彼此之间条件相似性很高，学生经常出现即使能够熟练背诵定理的内容，但是在实际应用时仍然出错，其原因在于没有理清概念彼此之间的关系和内在的联系，导致概念的混淆和套用.

三、通过小组合作学习实现概念的应用

概念的应用包括低层次的知觉水平的应用和高层次的思维水平的应用.一般来说，低层次的知觉水平的应用是对概念自身结构和内涵的理解，涉及概念体系中其他概念因素较少；高层次的思维水平的应用是一个比较复杂的过程，它需要学习者通过外部信息去激活、选择和提取相关的概念和命题，并将其与当前问题联系起来，经过解题训练，将这些经验内化为个体的认知结构.从人的认知结构可知，那些现实的、综合的、复杂的实际问题，需要使用学过的理论知识综合地处理才能解决问题，这一类问题没有统一的解决问题的途径，没有程序化的解题模式，运用小组合作讨论的教学方法可实现这一部分知识的学习.

如一阶递推数列的知识中，学生已经掌握了等差数列和等比数列的概念，由等比数列的知识学习形如a璶=﹑a﹏-1+猶（其中p，q为常数）类的一阶递推数列不再是难题，但是学生却并不能理解为何要设a璶+λ=p（a﹏-1+λ），此时需要老师引导学生从等比数列的定义a璶=a﹏-1·p上思考，如果变成了a璶+λ=（a﹏-1+λ）·p，则构造出了一个新的等比数列{a璶+λ}，即a璶=pa﹏-1+q型的一阶递推数列问题.由此引导学生小组间合作讨论：“除了能加一个

λ外，还有哪些变化呢？”通过互相命题解答，再合作思考讨论，学生很自然会出现a璶+n=（a﹏-1+n）·p这一类错误的构造，引发学生对

a璶=pa﹏-1+（p-1）n这一类问题的思考及一阶递推数列的构造关键在于什么地方，易错点在于什么地方，从而实现对数列定义的深入理解和对等比数列概念的更深刻的思考，以及以后面对更复杂的一阶递推数列问题的思维导向，如对于a璶+x琻=（a﹏-1+x﹏-1）·p的构造.

概念的应用是概念学习中最难的一部分，也是学生从学习到应用的转化过程，不少学生正是由于没有足够的时间和机会去观察、思考和发现才导致了对于数学学习的恐惧心理，小组合作学习为学生应用概念和理解概念提供了机会和平台，通过小组成员之间的互相沟通，互相作用，知识与策略的共享与共融，使得信息的加工更深入，概念的理解更深刻.

【参考文献】

[1]崔克忍.中学数学教学论[M].北京：北京师范大学出版社.

[2]罗增儒，李文铭.数学教学论[M].西安：陕西师范大学出版社.