数学归纳法在证明不等式中的应用

熊进

一、数学归纳法概析

随着近几年考试命题对于考查学生的探索和归纳问题的能力的侧重，很多的考试题目开始广泛出现了利用数学归纳法进行不等式证明的应用.所谓数学归纳法，是用来证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法，主要用来探讨与正整数有关的一系列数学问题，在高考试题和数学联赛试题中应用非常频繁和广泛.数学归纳法的历史非常悠久，早在1575年就出现了数学家巧妙地利用递推关系证明出了前n个奇数的总和为n2，以此成功地总结出了数学归纳法的证明.数学归纳法总结起来有四种，分别是第一类数学归纳法、第二类数学归纳法、倒退归纳法（反向归纳法）以及螺旋式归纳法.最常见并且最简单的数学归纳法是用来证明当n隶属于全部的正整数时一个数学表达式是否成立，主要由两个步骤组成：进行递推的基础条件是证明当n为1时所要证明的数学表达式成立，进行递推的依据是证明假如n为正整数m时数学表达式成立，那么当n为m+1时数学表达式同样成立.此方法包含的原理是由第一步的递推基础证明起始数值在数学表达式中能够成立，然后证明从一个数值到另一个数值的证明过程是有效的，那么任意一个数值的证明都可以包括在这种不断重复的证明过程中.将这种方法类比于多米诺效应理解起来更容易：对于一排直立着的很长的多米诺骨牌，如果可以确定第一张牌将会倒下，只要是某一个牌倒下了，与它相邻的下一个牌也会倒下，那么就可以以此确定出相应的递推关系来推断所有的多米诺骨牌都会倒下.

二、数学归纳法证明不等式之应用

1.数学归纳法证明不等式的方法

利用数学归纳法来证明不等式的方法可以分为两个步骤：第一步是验证当n取第一个初始数值n0时所要证明的不等式成立，第二步是对于任意的正整数k，假设当n的值等于k时不等式能够成立，以此来证明当n为k+1时所要证明的不等式是否成立.如果第一步和第二步都能够顺利证明完成，那么可以得出结论，即对于所有大于或等于n0的正整数n不等式成立.运用数学归纳法来证明不等式的方法中的这两个步骤体现了数学中的递推思想，对于证明格式要求比较严格，第一个步骤是递推思想应用的基础，第二个步骤是递推思想应用的依据.而且第二个步骤的变形是不等式证明的关键点，需要运用假设方法来作为递推证明的基础.利用数学归纳法证明不等式涉及的主要知识点有整除、恒等式、不等式和与几何教学相关的知识内容.数学归纳法来证明不等式的难点重点在于由n等于k时不等式成立来推出n等于k+1时不等式同样成立这一步骤.为了顺利完成这一步的推断，不仅仅要合理使用假设和归纳的方法，还要灵活地使用所给问题的其他相关条件和知识，证明时先比较n=k和n=k+1这两个等式间的共同点和差异，然后决定后者做哪一种变形，再利用分析、放缩、比较、综合的方法和不等式的传递性质来完成证明.

2.数学归纳法证明不等式例析

数学归纳法在证明不等式方面的应用非常广泛，利用它来证明不等式使用起来简单容易.在利用数学归纳法证明不等式时，应该比较当n=k和n=k+1时所得出的两个不等式之间的形式差异，然后决定后者做什么样的变形能符合条件.一般来说有如下几个解题方法和策略，首先是要学会活用起始点的位置，这样可以适当增加起点或者将起点位置前移，这样可以补充不等式的一些特殊情形，容易验证；其次可以根据不等式的递推目标进行适当的分析和放缩，或者引入一些合理的不等式用来过渡，将所要证明内容进行平稳过渡，为目标不等式的证明架桥铺路.

例如，起点增加和前移的应用：证明对于一切正整数n，都有2n+2>n2成立.

①当n为1时，不等式两边显然成立；

②假设对于正整数k，不等式也成立，即2k+2>k2，那么就需要证明不等式对于n=k+1也是成立的，即证明2k+1+2>（k+1）2.

因2k+1+2=2×2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

而2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=（k+1）2+（k-3）·（k+1），因此只需要（k-3）（k+1）>0原不等式就成立，而这需要有正整数k大于3的条件，因此可以把起点变为n等于3，虽然起点增多了，但是归纳起来却很方便.因而在步骤①的证明中，需要补充证明n为2和3时，不等式成立.如此一来，步骤②中的（k-3）（k+1）>0成立，则2k+1+2>（k+1）2是成立的，原不等式被成功证明.在利用数学归纳法证明不等式的时候，在证明n等于k+1成立时需要具有明确的目标意识，从而调控和确定证明的方向，逐步减少差异，最终成功证明不等式是成立的.

利用数学归纳法这种方法来证明不等式是一种非常方便的工具，可以有效提高解题效率、优化解题过程甚至可以简化或者避免一些具体问题.使用数学归纳法进行不等式的直接证明时，因归纳和过渡往往比较困难，如果能巧妙地使用不等式的可加性和传递性，适时地使用假设不等式和过渡不等式与目标不等式的特征关系，通过放缩常数和强化命题等技巧，可以顺利完成归纳和过渡.另外，在利用它来解决不等式问题时首先要细心地观察，然后大胆地进行联想，发现一些内在的联系从而为解决问题找出方法和途径.