从“草船借箭”的典故中看构造法在数学解题中的应用

赵伟红

【摘要】古代军事家诸葛亮巧妙地利用了“草船借箭”来获取了足够的箭支来满足己方的战时需求.在这个典故中，实际上是利用了数学中的构造法在解决实际问题上的一个应用.构造法作为一种重要的数学方法，在数学解题中有着特殊的地位和作用.其策略具有非常规性，方法带有试探性，思维富有创造性.

【关键词】构造法；解数学题；构造

读过古典名著《三国演义》的人都知道“草船借箭”的故事.“草船借箭”解释为运用智谋，凭借他人的人力或财力来达到自己的目的.军事家诸葛亮巧妙地运用了“草船借箭”来获取了足够的箭支以满足己方的战时需求.这实际上也是数学中的构造法在解决实际问题上的一个典型事例应用.诸葛亮能够根据所需箭支的数量，充分分析当时的天气变化，制定所需船只的多少来达到既定的箭支“制造”数量，从而来满足既定的作战需求.所谓构造法是数学中的一种重要思想方法，它在数学解题中被广泛运用.其原理是通过对问题的观察、分析，抓住特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造新的模型来达到解题目的的方法.

构造法的核心是构造，突破是创新，思维是转换.而且它具有下述特点：在构造思维过程中，一般要伴有观察、分析、联想、猜测等活动而进行；构造性思维不仅仅体现在解决问题的全过程中，而且体现在解决问题的关键环节和步骤中；在构造的思路上，必须在有限的步骤内能具体实现.在应用构造性思维时，一是需要有扎实的基础知识和创造性思维的品质；二是要有明确目的，即需要构造的是什么；三是弄清楚题设条件和结论特点，以便构造具体方案.下面笔者通过对几道典型试题分析来介绍如何应用构造法进行适合题意的构造.

例1 证明存在两个无理数x，y，使得xy是有理数.

这是一道莫斯科数学竞赛的培训题.教师的思路应该是：令x=2，y=2.若22是有理数，则问题已得解决；若22是无理数，则222=（2）2=2是有理数.因此，一定存在这样的两个无理数x，y，使得xy是有理数.从而问题得证.

上面的证明虽然流畅，但也存在一点瑕疵，并没有具体指出哪两个无理数具有这种性质.我们不妨构造出下面两个无理数.x=3，y=log316是两个无理数，而xy=3log316=4是有理数.这就更具体直观了.

例2 世界上任意6个人中至少存在3个人或是互不认识或是互相认识.

这就是著名的拉姆赛（Ramsey）问题.

分析 此题运用抽屉原理即鸽巢原理.要构造“抽屉”，首先要确定应对哪些元素进行分类，然后再找出分类的规律.此题中的6个人是任意的，就像“鸽子”，他们的区别只在于认识或不认识这两种关系，故可以构造“鸽巢”（抽屉）.注意到对于6个人中的任何一个人A来说，除A以外的5个人可分为两类，一类是与A认识的人，另一类是与A不认识的人.如用E来表示其余5个人中与A认识的人的集合，用F表示其余5个人中与A不认识的人的集合，得抽屉E，F，再利用抽屉原理来证明.

证明 设其余5个人中与A认识的人组成的集合为E，与A不认识的人组成的集合为F.根据抽屉原理，E，F中至少有一个集合有3个人，不妨设为E.若E中的3个人B，C，D彼此不认识，则命题为真；否则有2个人互相认识，不妨设为B，C，则连同A有3个人互相认识，则命题也真.如果F中有3个人，设为L，M，N.若他们互相认识，则命题为真；否则有2个人互不认识，设为L，M，连同A有3个人互不认识，则命题也真.

说明 拉姆赛问题是一个很重要的命题，一些存在性问题都可以利用它得以解决.在整个问题的处理上构造抽屉显得尤为重要，在此过程中构造要以解题者所掌握的知识为背景，以所具备的能力为基础.通过仔细观察、分析、发现问题中各个环节与其中的联系，从而为寻求目标创造条件.

总之，运用构造法解题，可以使各种数学知识相互联系相互渗透，有利于问题的解决.构造法体现了数学发现的思维特点，它作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它属于非常规思维，而且在学习研究的过程中注意对学生多元化及创新思维的培养，使学生体会知识间的联系和转化，能创造性地巧妙地解决问题，从而获得学习的成功感和愉悦感.