一道中考压轴题解题方法的课堂探究

董唯佳

【摘要】作为一名初中数学教师，解题能力是衡量教师教学水平的一个标准.今年笔者再次执教初三，为了提高自己的解题能力，跟上目前中考数学的形势，于是了解了这几年来的中考压轴题，特别是浙江省金华市2011年中考的最后一题引起了笔者的注意，并以此题入手，做了一些尝试，并在今年第二轮复习的时候，把这道题目作为主要内容上了一次公开课，得到不错的反响.特此把整个教学与思考的过程与同行们一起探讨.

【关键词】压轴题；探究；改编

1.教学过程

教师：各名同学，今天我们来进行第二轮的专题复习，重点讲一个题目，大家拿到发下来的试题，思考8分钟.

原题再现（删除原第1，2两小题）如图，半圆C在坐标系中，P为圆上（除了A，O外）的一点，连接AP并延长使得AP=PB，连接OP，过点B作x轴的垂线，与直线OP交于点D，与x轴交于点G.若△CDG∽△AOP，并且直径的长度为10，求点G的坐标.

（8分钟过后）

教师：思考了8分钟，你们有些什么思路吗？

学生甲：我发现有几种情况.

教师：那请问有几种情况？

学生甲：3种.

教师：把你在试题纸上画的内容给我们呈现一下.

学生甲画出了3种情况：

教师：不错，想得很周到.可是你会算吗？

学生甲：我算了其中的两种情况，分别是图2和图3.

教师：我们来呈现以下你所做的过程.

（1）根据图2和图3，发现点G在线段OC上有两种情况，而且两种情况均成立.

解 如图2，设CG=x，

△OCD∽△OAP軨D=1[]2AP=1[]4AB軨G=1[]4AG輝[]x+5=1[]4輝=5[]3軬10[]3，0.

如图3，△CDG∽△OPA萑鬐为OC中点，则△OGD≌△CGD軴G=CG軬5[]2，0.

教师：真不错.不过还有一种呢？

学生甲：算不出，也想不到思路.

这时学生乙说了.

学生乙：其实我发觉，图1的算法和图2的算法有些类似，肯定是利用相似三角形来转化，然后再利用方程解决的.

教师：你的猜想很对，那么有没有哪名同学可以把相似三角形进行转化呢？

学生丙：我觉得可以添加辅助线.

教师：很好，请问添在哪里？

学生丙：连接GP.

教师：你很棒，那么你能算吗？

这时班级陷入了一片沉默.

笔者只好再进行干预.

教师：辅助线添对了，我们接下来需要做的是把相似三角形成比例的边都转化到一条边上.

有学生举手了.

学生丁：转化到x轴上.

教师：太好了.大家试试.

经过几分钟的思考计算，终于有同学完成了这种情况.呈现结果如下.

图 1（2）根据图1，点G在线段CA上有两种情况.

①∠CDG=∠POA.②∠DCG=∠POA.第一种情况成立.第二种情况不成立，因为∠DCG=∠POA+∠ODC>∠POA，无法相似.

假设CG=x，连接GP.

△CDG∽△AOP∽△ABG軨D[]AB=CG[]AG.

又 CD∥GP荨鱋CD∽△OGP軨D[]PG=OC[]OG軨D[]0.5AB=OC[]OG軨D[]AB=OC[]2OG軨D[]AB=CG[]AG=OC[]2OG輝[]5-x=5[]2（5+x）2x2+15x-25=0輝1，2=-15±517[]4輝=-15+517[]4軬5+517[]4，0.

教师：到这里为止，大家都做得很好.那么我想问：就三种情况吗，有没有别的情况了？或者再仔细读一下题目.

学生甲：题目中说与直线OP相交，所以我刚才还少画一种情况.

教师：对，这次你思考得很全面，请你呈现.

图4① 图4②

教师：完全正确，那么你能算吗？

经过大约6分钟之后，下课铃声响了，笔者只好终止了课堂，把这种情况作为课外作业进行思考.课后笔者再次思考了这道题目，得到了一些新的想法.先附上最后一种情况的解法.

（3）根据图4，点G在直线AO的延长线上有两种情况.①∠CDG=∠POA.②∠DCG=∠POA.第一种情况成立.第二种情况不成立，因为∠POA=∠DCG+∠CDO>∠DCG，无法相似.

假设CG=x，连接GP.

△CDG∽△AOP∽△ABG軨D[]AB=CG[]AG.

又 ∵CD∥GP荨鱋CD∽△OGP軨D[]PG=CO[]GO軨D[]0.5AB=CO[]GO軨G[]AG=CO[]2GO5+x[]10+x=5[]2x2x2+15x-50=0輝1，2=-5±517[]4輝=-5+517[]4軬5-517[]4，0.

∴综上所述，共有4个点，分别是

G15+517[]4，0，G210[]3，0，G35[]2，0，G45-517[]4，0.

虽然这道题目利用了一节课的时间也没能完成，但笔者也得到了许多的奇思妙想，比如有一名学生说是否可以假设某个角，然后用三角函数来表示边呢？笔者认为很有道理.

2.问题背景

该题从题型来看，属于近年来中考中常出现的动点问题.从考查的内容来看，涵盖了圆的基本性质、相似三角形、方程、坐标系、中位线等知识点.从问题的难度设定来看，体现了从容易到难的跨越.从题目所蕴含的思想性来看，包含了方程、数形结合、转化的数学思想.从学生接受的角度来看，这道题目所用的知识都是学生已经学习过的知识.

该题的动点情况用画图表示比较容易，但是列出方程计算很难，是一道门槛低、出口宽、方法多、完成时间紧、难度高的好题.据了解整个浙江省金华市中考的情况高分不多.显然都是因为看到有那么多种情况先把自己吓怕了，再加上做到这道题目的时候已经是考试的后半程，时间的压力大增，因为很多学生无法在这纷繁芜杂的6个相似三角形中找出合适的相似三角形来参与计算，所以这对于学生的数学能力有着很高的要求.

3.合理简化，变式运用

这道题目在笔者给学生上公开课的时候虽然碰到了阻碍，但是不得不说是一道好题，教师在给学生做类似这类题目的时候要耐心引导，不可操之过急，最开始给学生思考8～10分钟，反而是有助于学生得到一些结果的，急忙提问学生只会没有头绪.有部分同学可以完成两种情况应该说是很不错的结果了.这堂课结束后笔者一直在思考，应该把这道题简化一下，让更多的学生从这道题目中受益，这才是符合考题人的真正的诉求.

【参考文献】

[1]何小亚.中学数学教学设计案例精选.科学出版社，2011.

[2]熊斌，冯志刚.奥数精讲与测试（九年级）.学林出版社，2008.

[3]刘凤桢.由一道中考压轴题引起的探究之旅——利用光学性质解决动点在曲线上的最值问题[J].中小学数学，2011（11）.

[4]肖世兵.一道运动问题的命制过程与思考[J].中小学数学，2011（12）.

[5]义务教育课程标准实验教科书九年级《数学》（上、下）.浙江教育出版社，2006.