关于高中数学拓展问题教学的探讨

2012-04-29 00:44陈海东
数学学习与研究 2012年23期
关键词:段长双曲线命题

陈海东

俗话说“问题是数学的心脏”,解决数学问题是高中学生数学学习的主要内容,这也是教师考查学生学习效果的重要途径.事实上,在高中数学课程中,解题教学是决定教学成败的关键.但由于学生的学习经历有限,题海战术并不能保证学生记住全部问题类型的解题方式,但也不能因此就让学生缺乏练习.因此,最好的方法就是以最少的原题,拓展出最多的问题,让学生适当地对原习题进行深层次的探索,挖掘出更深刻的结论,起到举一反三、触类旁通的效果.

1.通过一般化拓展问题

所谓的一般化,其实就是让学生从个别认识上升到普遍的认识,从考虑单一的对象到考虑多组对象的转变.落实到教学中,就是要尽可能地把局部、特殊的数学问题转换为整体、普遍的数学问题.其实,一般化方法早就被数学教育家波利亚称为“获得发现的伟大源泉”.笔者认为,把数学问题进行引申拓展,最终实现“做一题,解一类”的目的,是高中数学教师教学的目标之一.

例1 求证:19941995>19951994.

思考分析 一般来说,学生如果没有进行更多的思考,就会按照第一直觉,直接从具体数字入手,但是在这过程中,部分学生会发现难以证明.那么作为教师,在教学中要如何指导学习进行解题呢?以一般化的思路导入,是最恰当不过的.首先,引导学生将解题思路拓展,跳出原有就题目解题目的思维,进而退到最基本的情形,然后再逐步归纳,不难得出:nn+1≥(n+1)n(n∈N且n≥3).

那么,通过数学归纳法,即可以证明此一般性命题的正确性,接着据此求证特殊性命题,结果就迎刃而解了.

此外,教师还可以引导学生进行进一步的一般化探索,如经过分析论证,我们还可以得到更为一般的结论:当a>b>e时,abba.至此,学生所解决的问题,就不再是一道题,而是一类题,在日后的学习中,学生就能够轻易地解决此类问题.

2.通过类比拓展问题

开普勒曾说过:“我赞成类比胜过其他的一切,它是我最可信赖的,它知道自然的一切奥秘,并且在几何中它经常是有效的.”事实上,在高中数学教学中,类比方法同样奏效,通过合理的类比不仅能够帮助学生找到最佳的解题途径,更能为学生思维的拓展起到很好的促进作用.

例2 求证:一直线与圆x2+y2=1及其圆系x2+y2=r2都相交,夹在它们之间的两线段长相等.

证明 [HT]显然直线的斜率不存在时结论成立.

当直线的斜率存在时,设直线方程为y=kx+b,由y=kx+b,

x2+y2=r2,

得(1+k2)x2+2kbx+b2-r2=0,(如图)

∴xA+xB=-2kb[]1+k2.

设AB中点为M(x0,y0),则

x0=-kb[]1+k2,y0=-k2b[]1+k2+b=b[]1+k2.

因为(x0,y0)与r无关,因此(x0,y0)也可以当作是CD中点的坐标,因此|AC|=|BD|(其实,如果从平面几何的角度去证明,将十分简单,上述证明主要是为了更好地说明问题).由于圆和椭圆、双曲线、抛物线都是二次曲线,所以,笔者从它们的相似性出发,引导学生进行类比猜想,进一步拓展问题.

拓展1 一直线与椭圆x2[]a2+y2[]b2=1及椭圆x2[]a2+y2[]b2=λ(λ>0)都相交,夹在它们之间的两线段长相等.

拓展2 一直线与双曲线x2[]a2-y2[]b2=1及双曲线x2[]a2-y2[]b2=λ(λ>0)都相交,夹在它们之间的两线段长相等.

这道题的特殊情况在于:与双曲线x2[]a2-y2[]b2=1相交的任一直线夹在双曲线及其渐近线之间的两线段长相等.

拓展3 一直线与抛物线y2=2px(p>0)及其抛物线y2=2p(x-a),(x∈R)都相交,夹在它们之间的两线段长相等.

通过上述类比拓展,学生能够从一个角度看到更多的问题,能够从一道题目中认识到命题者的出题意图,这就为日后的学习奠定了良好的基础.

3.通过变换命题条件拓展问题

其实,只要认真观察就会发现,同一知识点的命题,往往是通过变换结论或者条件的方式,达到题目多样化的结果.而变换命题的条件,就是把特殊化的条件放宽到一般化的条件,而保持结论不变.举个简单的例子,把正三角形变为等腰三角形,进而又变为任意三角形,将线段的中点变为线段上的任意点等.此外,还有些题目是通过在原有条件的基础上附加一些限制性条件.

例3 假如6个人站成一排,共有多少种排法?(A66=720)

此时,可以通过增加限定条件的方式来拓展问题:

拓展1 6人站成一排,甲站在排头,乙站在排尾,共有多少种排法?(A11A44A11=24)

拓展2 甲、乙、丙三人各站在指定位置上,有多少种排法?(A11A11A11A33=36)

4.结 语

学习,是一个不断拓展深入的过程.在高中数学学习中,学生也应该不断地拓展自己发现问题、分析问题、解决问题的能力,而教师作为教学的引导者,更需要通过有效的教学指导,引导学生在某一个问题或者某一类问题上,不断地探索研究,最终能够实现以点代面、举一反三的教学效果,全面提高课堂教学的效率,提升学生探索问题的能力.

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