关于高中数学拓展问题教学的探讨

陈海东

俗话说“问题是数学的心脏”，解决数学问题是高中学生数学学习的主要内容，这也是教师考查学生学习效果的重要途径.事实上，在高中数学课程中，解题教学是决定教学成败的关键.但由于学生的学习经历有限，题海战术并不能保证学生记住全部问题类型的解题方式，但也不能因此就让学生缺乏练习.因此，最好的方法就是以最少的原题，拓展出最多的问题，让学生适当地对原习题进行深层次的探索，挖掘出更深刻的结论，起到举一反三、触类旁通的效果.

1.通过一般化拓展问题

所谓的一般化，其实就是让学生从个别认识上升到普遍的认识，从考虑单一的对象到考虑多组对象的转变.落实到教学中，就是要尽可能地把局部、特殊的数学问题转换为整体、普遍的数学问题.其实，一般化方法早就被数学教育家波利亚称为“获得发现的伟大源泉”.笔者认为，把数学问题进行引申拓展，最终实现“做一题，解一类”的目的，是高中数学教师教学的目标之一.

例1 求证：19941995>19951994.

思考分析 一般来说，学生如果没有进行更多的思考，就会按照第一直觉，直接从具体数字入手，但是在这过程中，部分学生会发现难以证明.那么作为教师，在教学中要如何指导学习进行解题呢？以一般化的思路导入，是最恰当不过的.首先，引导学生将解题思路拓展，跳出原有就题目解题目的思维，进而退到最基本的情形，然后再逐步归纳，不难得出：nn+1≥（n+1）n（n∈N且n≥3）.

那么，通过数学归纳法，即可以证明此一般性命题的正确性，接着据此求证特殊性命题，结果就迎刃而解了.

此外，教师还可以引导学生进行进一步的一般化探索，如经过分析论证，我们还可以得到更为一般的结论：当a>b>e时，abba.至此，学生所解决的问题，就不再是一道题，而是一类题，在日后的学习中，学生就能够轻易地解决此类问题.

2.通过类比拓展问题

开普勒曾说过：“我赞成类比胜过其他的一切，它是我最可信赖的，它知道自然的一切奥秘，并且在几何中它经常是有效的.”事实上，在高中数学教学中，类比方法同样奏效，通过合理的类比不仅能够帮助学生找到最佳的解题途径，更能为学生思维的拓展起到很好的促进作用.

例2 求证：一直线与圆x2+y2=1及其圆系x2+y2=r2都相交，夹在它们之间的两线段长相等.

证明 [HT]显然直线的斜率不存在时结论成立.

当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，由y=kx+b，

x2+y2=r2，

得（1+k2）x2+2kbx+b2-r2=0，（如图）

∴xA+xB=-2kb[]1+k2.

设AB中点为M（x0，y0），则

x0=-kb[]1+k2，y0=-k2b[]1+k2+b=b[]1+k2.

因为（x0，y0）与r无关，因此（x0，y0）也可以当作是CD中点的坐标，因此|AC|=|BD|（其实，如果从平面几何的角度去证明，将十分简单，上述证明主要是为了更好地说明问题）.由于圆和椭圆、双曲线、抛物线都是二次曲线，所以，笔者从它们的相似性出发，引导学生进行类比猜想，进一步拓展问题.

拓展1 一直线与椭圆x2[]a2+y2[]b2=1及椭圆x2[]a2+y2[]b2=λ（λ>0）都相交，夹在它们之间的两线段长相等.

拓展2 一直线与双曲线x2[]a2-y2[]b2=1及双曲线x2[]a2-y2[]b2=λ（λ>0）都相交，夹在它们之间的两线段长相等.

这道题的特殊情况在于：与双曲线x2[]a2-y2[]b2=1相交的任一直线夹在双曲线及其渐近线之间的两线段长相等.

拓展3 一直线与抛物线y2=2px（p>0）及其抛物线y2=2p（x-a），（x∈R）都相交，夹在它们之间的两线段长相等.

通过上述类比拓展，学生能够从一个角度看到更多的问题，能够从一道题目中认识到命题者的出题意图，这就为日后的学习奠定了良好的基础.

3.通过变换命题条件拓展问题

其实，只要认真观察就会发现，同一知识点的命题，往往是通过变换结论或者条件的方式，达到题目多样化的结果.而变换命题的条件，就是把特殊化的条件放宽到一般化的条件，而保持结论不变.举个简单的例子，把正三角形变为等腰三角形，进而又变为任意三角形，将线段的中点变为线段上的任意点等.此外，还有些题目是通过在原有条件的基础上附加一些限制性条件.

例3 假如6个人站成一排，共有多少种排法？（A66=720）

此时，可以通过增加限定条件的方式来拓展问题：

拓展1 6人站成一排，甲站在排头，乙站在排尾，共有多少种排法？（A11A44A11=24）

拓展2 甲、乙、丙三人各站在指定位置上，有多少种排法？（A11A11A11A33=36）

4.结 语

学习，是一个不断拓展深入的过程.在高中数学学习中，学生也应该不断地拓展自己发现问题、分析问题、解决问题的能力，而教师作为教学的引导者，更需要通过有效的教学指导，引导学生在某一个问题或者某一类问题上，不断地探索研究，最终能够实现以点代面、举一反三的教学效果，全面提高课堂教学的效率，提升学生探索问题的能力.