触类旁通, 举一反三, 拓展思路

雷远秉

西师版小学数学第九册第139页有这样一道思考题：今天产的鸡蛋不超过50个。2个2个地数还剩1个，5个5个地数还剩4个，3个3个地数正好数完。鸡蛋最多有多少个？

教学时我首先引导学生利用表格列举的方法找出这个数。

2个2个地数还剩1个，这个数可能是5、7、9、11、13……47、49。

5个5个地数还剩4个，这个数可能是9、14、19、24……44、49。

3个3个地数正好数完，这个数可能是3、6、9、12……45、48。

通过表格学生较易找出这个数是39。

然后，我利用能被2、3、5整除的数的特征来引导学生这样思考：“2个2个地数还剩1个”即这个数的一定是“奇数”，“5个5个地数还剩4个”即这个数的个位一定是“4或9”，综合这两个条件可以知道这个数果的个位只能是“9”；而“3个3个地数正好数完”，即这个数一定是3的倍数，根据能被3整除的数的特征可知，这个数的十位只能是“3”，因为此前已知道这个数的个数必然是9。再根据条件鸡蛋的总个数不能超过50，故而可知道鸡蛋个数一定就是39个。

课后我一直在思考：利用列举的方法来找这个数虽然不失为一个好办法，但是比较麻烦。而学生刚好学习了倍数和能被2、3、5整除的数的特征，在概念比较模糊，容易混淆的情况下，对于这样的思考题感到特别抽象，无从下手。对于这样的一类思考题，有没有一定的规律可循呢？这些数与公倍数、余数有什么关系呢？我设计了以下几类变式思考题来研究。

例1：如果一个数（均为非零数，下同）除以6余3，除以7也余3，这个数是多少？

思路：这个数除以6、7后余数都是3，那么这个数减去3后，既能被6整除，又能被7整除，因而这个数减去3后一定是6和7的公倍数，即这个数“减去3”后最少是42，那这个数至少应是45。我们把这个数称为基数。

除了45外还有哪些数符合条件呢？列举后我们发现87、129、171、213都符合条件，原来45与6、7的最小公倍数有关，其余的数与6、7的公倍数都有关系，只要是公倍数的倍数加上余数都行，即6×7×N+3都可以。（N≥1，下同）

反思：这类题目的特征是余数相同。不管除数是什么，只要余数相同，其结果即为这两个除数的公倍数的加上余数，即余同取余，加公倍数。如42×2+3=87、42×5+3=213、42×20+3=843等都符合题目条件。

拓展：如果一个数除以4、6、9后余数都是2，这个数最少是多少？

例2：如果一个数除以3余1，除以8余6，除以9余7，这个数是多少？

思路：这个数加上2后能分别被3、8、9整除，而3、8、9的最小公倍数是72，那么这个数至少应是72-2=70。

反思：这类题目的特征是除数比余数多相同的数即，即除数减余数的差相同。找准这个差后，除数的公倍数减去这个“多”的数就行了，即差同减差，加公倍数，3×3×8×N-2都可以，如72×5-2=358、72×3-2=214也符合题目条件。

例3：一个数除以4余3，除以5余2，这个数至少是多少？

思路：采用表格列举的方法知道这个数最小是7，即除数与余数之和。其余的数就是4、5的最小公倍数20的倍数加上7，如27、107、2007等。这个题的特征是每一种相除中的除数与余数的和相等，我们总结的方法是和同加和，加公倍数。

这是本类题目中最简单、最易列举的例子，但如果将此类例题略作修改，让题目不具备前三例的特征，学生理解起来就的一定难度，列举起来也有些繁杂。教学时建议学生列一个表，从表中找出是最小的基数，在这个最小基数的基础上加上除数的公倍数就行。如：

此表第二、三列：一个数除以4为余3，除以5余1，其最小基数是11（黄色栏），其余数是4、5的最小公倍数的若干倍加上11，即20×N+11，如31、51、71等。

第二、五列：一个数除以4余3，除以7余2，其最小基数是23（绿色栏），其余数是4、7的公倍数的若干倍加上23，即28×N+23，如51、79等。

第三、四列：一个数除以5余1，除以6余5，其最小基数是11，其余数是5、6的公倍数的若干倍加是11，即30×N+11，如41、71、101等。

……

例4：一堆苹果有200个左右。如果每人都分4个结果剩下30个；如果每人都分6个会差60个。这堆苹果有多少个？有多少人参与分配？

思路：“每人都分4个”后“剩下30个”，而“每人分6个”时“不仅把原来剩下的30个分完，而且还差60个”，这种分法与前一种分法相比就“多分90个”，是因为“每人多分（6—4）个”造成的，故而就应有（90÷2）个人参与分配，苹果的个数应为（4×45+30）个。

反思：本例能否借助例一、例二的思路来解答呢？

我们想：每人分4个后剩下30个，即剩下部分加上2凑成32个苹果，这时苹果的个数是4的倍数。结合条件的“200个”左右，可以用列举法找出符合条件的个数可能是194、198、202、206、210、214、218等；“每人分6个时差60个”，就是说苹果的个数一定是6的倍数，结合条件列举找出的数可能是192、198、204、210、216、222等，在这两列数中只有198和210符合条件，但198符合除以4余2这个条件但不符合每人分4个剩下30个这个条件，故而因舍去，只有210符合题意条件。

这个题目我们可以改编成这样一个如例一或例二的题：一个数除以4余2，除以6刚好整除，这个数约200左右，这个数应是多少？（和同问题）

例5：一队近2000的士兵列队。如果每队排3人，最后一列只有2人；如果每队排5人，最后一列只的3人；如果每队排7人，最后一列只的6人。求这队士兵的人数。

思路条件1：总数近2000人。

条件2：每队排3人，最后一列只有2人，即除以3余2。

条件3：每队排5人，最后一列只的3人，即除以5余3。

条件4：每队排7人，最后一列只的6人，即除以7余6。

条件2与条件4：差同减差，通过列举找出这个数可能是20、41、62、83、104等。

由条件3可知，这个数加上2（减去3）后一定是5的倍数，即这个数的个位应是3或8。

综合上述，这个基数应为83。士兵人数是3、5、7的公倍数的若干倍加上83，故而这个数应为105×18+83=1973，这列士兵共有1973人。

拓展：一个数除以2余1，除以5余2，除以7余3，除以9余4，这数至少是几？

这类思考题在我国古代称为剩余问题，也叫孙子点兵、韩信点兵，重点是研究余数，在小学我们可以通过列表等方法总结出这类题的解答基本思路：余同取余，差同减差，和同加和，最小公倍相加。