思维导图:数学解题教学的有效工具

杨其松

摘要： 思维导图是数学解题教学的有效工具。在解题教学中利用思维导图呈现解题方法的挖掘过程、展现一题多解中思维的发散过程、体现一题多变的变化过程，能够使学生清晰而深刻地体会到如何思考解决问题。

关键词： 数学解题教学思维导图切入点突破口归纳点

教学解题教学在本质上说不是知识技巧的传授，而是智能的培养。可智能并不表现在解题的结果上，也不是表现在技巧方法的结果上，而是表现在解题的思考过程中，思想方法总结提升的过程中。教师的教学难题是如何让学生体验解题方法的形成过程，从某一题“顿发的灵感”上升归纳为解一类题的思想方法。通过学习思维导图，我发现思维导图不仅可以让学生清晰地体会到解题突破口的发现过程，而且可以一目了然地理解解题思想方法的挖掘、使用过程，从而使学生真正从会解一道题转变到会解一类题，甚至是如何解数学题。

思维导图是由“记忆之父”托尼•巴赞教授创造的一种记笔记的方法。它可以把枯燥的信息变成彩色的、容易记忆的、高度组织的图；它与我们大脑处理事物的自然方式相吻合，能以直观形象的方式对知识信息进行描绘；而且它还是一种有效的思维工具，主张在作图时使用线条、颜色、符号、词汇和图像，以充分开发人的“全脑”（左脑和右脑），培养人们的创新思维。思维导图画法的核心内容就是在纸的中间写下或画下想要解决的中心问题然后逐级发散。（本文中所举的例题在课堂教学中都是以彩色粉笔结合不同的图像呈现在学生面前）

一、利用思维导图呈现解题方法的挖掘过程，让学生体会解题的“切入点”。

爱因斯坦曾说：“结论几乎总是以完成的形式出现在读者面前，读者体会不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，也很难达到清楚地理解全部情况。”这也是数学老师所追求的：把解题方法的形成过程呈现给学生，让他们通过自主体会，达到真正理解。思维导图作为一种可视化的思考工具，以图形化的方式把题中所给的信息结构化，使其便于更好地分析、理解、联想、综合并产生新的想法，使教师从解题过程的解释和阐述中解放出来，着重于引导学生在探究解题思路的过程中主动建构解题思想方法、从而让学生体验到解题的全部过程，达到真正理解。我们从思维导图的核心画法出发，把解题分成以下几个步骤：

准确审题是解题的先决条件，思维导图从题中找出关键词的过程使学生更加重视分析、理解各种信息，并加强信息的全面性与关联性，使信息更加系统化更具条理性，极大地提高了审题的准确性。接下来对关键词进行不同角度、不同层次的研判并展开逐级联想，联想所能想到的知识点和解题思想方法、技巧等，然后经过提炼、删除、综合等过程得到问题的解决方案。其中联想相关的知识点和解题方法应尽可能全面：比如求y=sinx+cosx的最值，这里其中有一个关键词是最值，那么联想相关的求最值的所有办法，而不仅仅是合一变形这一个，比如还有导数、基本不等式、柯西不等式、二次函数法，等等，其中的有些方法可以解决这个问题，有些不能，所以学生有时还需要做提炼、删除工作。这样做虽然比较麻烦，但是可以使学生对解决一类问题的不同方法进行比较，并加深方法的记忆和掌握不同方法使用的范围和所需条件，解决现实中学生不知何时采用何种方法的困惑。

例1：（2008年浙江卷理科17题）若a≥0，b≥0，且当x≥0y≥0x+y≤1时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于.

二、利用思维导图展现思维的发散过程，让学生体验解题的“突破口”。

思维导图是一种将放射性思维具体化的方法，它的放射性结构恰好反映了大脑自然思考问题的解决过程，它在快速地联想扩展与题目相关的、有内在联系的清晰和准确的知识或解题思想方法的过程中，往往派生出许多不同的解题方向，而且思维导图完整的逻辑架构和全脑思考的方式可使解题方法更加全面、自然。

例2：已知实数x，y，z满足x+y+z=1，求证：x+y+z≥.

说明：

①作差法：

3（x+y+z）-1=3x+3y+3z-（x+y+z）

=（x-y）+（y-z）+（z-x）≥0

②反证法：类似于作差法

③分析法：本题的所有证法均可写成分析法

④柯西不等式：

（x+y+z）（1+1+1）≥（x+y+z）=1

∴x+y+z≥

⑤利用常见不等式x+y+z≥xy+yz+zx

∵1=（x+y+z）

=x+y+z+2xy+2xz+2yz

≤x+y+z+2x+2y+2z

∴x+y+z≥

⑥基本不等式：

x+1≥2xy+1≥2yz+1≥2zx+y+z=1?圯x+y+z≥3（等号无法成立）

↓修改为

x+≥xy+≥yz+≥zx+y+z=1?圯x+y+z≥（x=y=z=时等号成立）

⑦二次函数最值：

令f（x）=x+y+z-

∵x+y+z=1

∴f（x）=x+y+（1-x-y）-

=2（x+）+（y-）

∴［f（x）］=（y-）≥0

∴f（x）≥0

∴x+y+z≥

三、利用思维导图体现题组的变化过程，让学生感悟思想方法的“归纳点”。

“题组的变式训练”将一道静态封闭的题目从不同角度、层次、侧面出发变化为一个动态开放的题目，通过层层启发引导、归纳总结，从而达到举一反三、触类旁通、灵活应用。鉴于题组变式训练的卓越效果，许多教师在课堂上采用，而教师也往往通过“例题、变式1、变式2……”的方式展开“变式教学”。我认为若能结合导图呈现题组的变化过程，则更能让学生清晰地了解题组中各题目之间的变化过程、解题思想方法类同或联系之处，从而在多次强化后自发自觉地以题组为一个整体构建知识并形成解一类题的思想方法。我在“利用导数求最值”这一节复习课中，做过以下尝试。

说明：还可以几个因素同时变：

1.f（x）=ax-3x+1对于x∈［-1，1］总有f（x）≥0成立，则a=.

2.设函数f（x）=，如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围.

思维导图这种以图表的方式把思维过程表示出来，不仅有利于学生学会如何分析思考解决问题，而且有利于学生进行题后反思，从导图中可以清晰地了解该题所用的知识点、解题思想方法及解题技巧，当然也利于学生的理解记忆与课堂摘录。所以思维导图是老师进行解题教学的有效工具，也是学生学习的好助手。

参考文献：

［1］东尼•博赞著.张鼎昆，徐克茹译.思维导图大脑使用说明书［M］.外语教学与研究出版社.

［2］吴佑华.一题多解话化归.中学数学月刊，2005，（10）.