优化练习活动 渗透数学思想

房小科

思想是数学的灵魂，方法是数学的行为。数学家弗赖登塔尔指出：“数学中最主要的成分始终是思想方法，而这确实是人类共同的思想源泉，即使作家或艺术家们也可从中吸取营养。”相比于具体的解题方法，数学思想更能反映数学发展中的普遍规律，它直接支配着数学实践活动。对数学思想的不懈探索，更能满足教师对“智慧数学”的追求。那么，在涉及小学数学教学近二分之一课时的练习活动中，如何有效地培育学生的基本数学思想呢？

一、改变练习的呈现形式，孕育数形结合思想

一般认识上，练习活动是“新授教学的延伸和补充”，教师通常拿一些现成的练习题应付了事，以提高正确率、提升解答速度为终极追求。其实，练习承载着多重教学目标，教材上编排的练习题都是经过专家精心设计与审定的具有典型意义的材料，在每道看似普通的习题背后通常蕴含着丰富的数学思想。教学中需要教师深入解读习题，从不同的角度挖掘练习素材的内在价值，敏锐地予以捕捉、放大，适度加工重组，创造性地拓展延伸，使蕴含在问题里的数学思想凸显出来。

【案例一】计算1－■－■－■－■。

师：这道题你们会做么？你打算怎样做呢？

生：可以把这个算式改成■－■－■－■－■，分母都一样就可以算了。

师：把异分母分数转化成同分母分数，这个过程就是通分。

（出示图）

师：老师把刚才这道算式转化成了这样一个图形，仔细观察，这个图形跟算式有什么联系？

生：我发现这个图形就是由那个算式转变来的。1代表整个正方形，最大的长方形是■，中等的正方形表示■……

生：我觉得把算式转化成图形之后，计算起来很简便！可以直接从图上看出结果，是■。

师：能不能为大家解释一下，你是怎么直接看出来的？

生：1就是整个正方形，从正方形里面把代表■、■、■、■的阴影部分去掉，余下的就是空白部分，一眼就可以看出来是■。

师：跟一开始采用的通分的方法相比，后来我们是用什么方法解决问题的？这种方法有什么好处呢？

生：我们是把算式转化成图形来解决的。这种方法跟通分相比算得比较快，不会出错。

师：确实，著名数学家华罗庚说：“数缺少形时少直观，形缺少数时难入微。”把数或算式与图形结合起来，有时更容易解决问题。

数形结合思想，其本质就是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，通过直观的图形来形象地表达数学内容，实现抽象和形象的联系与转化。事实上，在小学数学教材中，把数与形结合起来的内容有很多，如认识整数、分数、小数中的各种方块图、圆圈图，统计与概率中的条形统计图、折线统计图、扇形统计图，空间与图形中的几何体以及用数对表示数等。但这些素材的呈现，往往是单一的用“形”来表达“数”，或者用“数”来描述“形”，缺乏“数”与“形”深入的沟通与联系，仅仅是作为帮助学生认识抽象事物，建构抽象概念的中介和工具而已。因此，数形结合思想的渗透需要教师有一双发现美的眼睛，对合适的素材合理地进行图形化呈现，要使“形”直观地反映“数”内在的联系, 要能引导学生自觉地将数学问题中的运算、数量关系等与几何图形、图象结合起来进行思考，要能使复杂的问题简单化，要能提供给学生不同的分析问题、解决问题的角度，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。上述案例中把枯燥的数（算式）转化成规则的图形，在比较沟通两者联系的基础上，充分感受数形结合的直观性和便捷性,体会用图形帮助思考带来的挑战与趣味，只有这样我们才能期望数形结合思想慢慢地从学生内心萌发起来。

二、拓展练习的思维深度，渗透极限思想

作为数学教学的重要环节，练习对发展学生思维、培养学生良好的学习习惯有着重要的作用。但常见的教学方法却是题海战术，以提高技能熟练度为目标，满足于学生练了、教师讲了、大部分会了而已。对如何放大每道练习题的思维价值，如何使练习过程同时成为孕育思想的过程缺乏深入的思考。正是基于对这些问题的反思，笔者在完成案例一的教学后，并没有就此打住，而是进一步拓展，力图使这一练习素材的价值最大化，并使其背后的数学思想凸显出来。

【案例二】

师：（指着1－■－■－■－■＝■）看着图形，想象一下，如果仿照这个算式继续写下去，后面应该减多少？结果是多少？再往后呢？

生：后面应该是减■，得■。再后面是减■，结果是■。

（结合学生的回答，多媒体出示）

1-■－■－■－■＝■

1-■－■－■－■-■＝■

1-■－■－■－■-■-■＝■

……

师：观察这些算式，结合上面的图形想一想，你有什么发现？

生：我发现得数的分母越来越大，分子总是1，也就是结果越来越小。

生：看了上面的图，我觉得这个结果会越来越接近于0。

师：接近！会等于0吗？

生：不会。

（多媒体出示：2000多年前，庄子就说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”）

师：你能解释这句话么？

生：这句话的意思是说：一尺长的棰子，每天拿走它的一半，一万年也拿不完。

师：这句话跟上面几道算式和图形有联系吗？

生：有联系。它们的意思是一样的，都是一样东西，每次拿走剩下的一半，但永远也拿不完。

受小学生认知特点的限制，他们对具体的、数量有限的事物容易理解，对抽象的、数量无限的事物难于把握。对于极限思想，在学习《圆的周长和面积》时，运用“化圆为方”“化曲为直”的方法，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，就使学生初步体验了这种思想。本例中，通过观察有规律的算式及其结果引导学生发现结果越来越小，越来越接近于0。但此时学生对无限小的认识还处于一种朦胧状态，需要教师进一步启发和引导。教师及时引导学生结合图形思考，并适时出示了庄子的一段话，为学生的思考提供了形象支撑，帮助学生再次感悟了极限思想。

三、丰富练习的探究体验，发展归纳思想

数学教学中如何实施有效的“练”，让学生在练中达到效果，培养能力，提升素养，每位教师都有自己的看家本领。但要强调的是，我们不仅仅要看练习的结果，更要关注练习的过程，要敢于在练习上花时间，要敢于把练习的过程铺展开来，要让学生充分经历数学探究的过程。好的练习要像“调味剂”，让学生在练习的过程中享受愉悦与成功;要像“磨刀石”，使学生的思维能够越磨越锋利;要像“孵化池”，能使数学思想在学生心中发芽成长。

【案例三】有4支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制（即每场比赛淘汰1支球队）进行，一共要进行多少场比赛才能产生冠军？

师：这样的题，你准备怎么解决？

生：画示意图。

（学生独立画示意图解决，教师巡视，指导画树形图，大部分学生很容易地得到需要3场比赛）

师：如果，现在不是4支球队参加比赛，而是64支球队参加比赛。怎么办呢？还用画图么？

生（犹豫）：用画图的方法好像太麻烦了，参赛球队太多了。

师：遇到这种数据比较大的题，我们可以先举几个数据比较小的例子进行尝试，得到规律后再解决原来的题。比如这题，你有什么好主意呢？

生（欣喜）：可以先用画树形图的方法找出5支球队、6支球队、7队球队……参加比赛需要几场，看看有什么规律。

师：好办法！下面就请每个同学任意举两个例子，用画图的方法看看各要比赛几场吧。

学生做好后展示汇报自己的结果，教师相机板书：

师（指着板书）：观察比较我们刚才得到的数据，你有什么发现吗？

生：我发现产生冠军需要的场数总是比球队的支数少1，或者说球队的支数总比比赛的场数多1。

生：我知道了64支球队比赛决出冠军需要63场比赛。

归纳思想在数学思想体系中属于比较难的一种，其本质是对若干特殊事例进行考察，从中概括出一般性结论。“基本思想其本质涉及演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线。”（孔凡哲）受小学生年龄特征的制约，小学数学教学中的概念、定义、算理、法则大多是由不完全归纳而来，而极少纯数学的演绎，应该说这是符合学生的认知规律的。比如在教学《三角形的内角和》时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。再如，加法运算律的教学，也是通过对大量加法算式的比较观察，进一步合理推想而概括得出交换律和结合律。这些都是运用了不完全归纳的思想方法。

新授环节中的归纳，常常是作为认识概念、总结规律的工具，而练习中运用归纳思想则更能彰显其在发现问题、解决问题中的价值，更能凸显出“归纳往往表现为一种智慧”。 如在上述案例中，教师没有以问题的解决为最终目标指向，而是进一步引导学生在复杂的、难以解决的问题面前，先从简单的做起，分别用画图的方法得到4支、5支、6支……球队参赛时的比赛场数，再合理推及64支球队参赛的情况。把解决问题的过程充分展开，让学生完整地经历由特殊到一般，从简单到复杂，大题小做、归纳推理的方法，不但能使学生的思维层次得到提升，更能促进学生从“学会”转向“会学”。

数学思想是学生心理活动的产物，是体验的结果。学生的数学思想只能在自己的内部萌生，不能从外部输入。教学时，教师要避免简单地说“这就是极限的思想”“这就是归纳的思想”，而应该以数学思想附着的数学知识、数学方法为依托，剖析数学思想的来龙去脉，感受数学思想的本质特征。随着学习的深入，学生在练习过程中积累了丰富的经验并进行了大量的亲身体验，在此基础上才能充分感悟到：虽然遇到的问题的类型不断变化，但解决这些问题的思想却始终如一。