一道美国数学竞赛题的推广

广东省深圳市深圳中学 (518001) 邱际春

2016年AMC12B中第20题是如下组合计数问题：

原题呈现A set of teams held a round-robin tournament in which every team played every other team exactly once. Every team won 10 games and lost 10 games; there were no ties. How many sets of three teams {A,B,C} were there in which A beat B, B beat C, and C beat A?

(A)385 (B)665 (C)945

(D)1140 (E)1330

原题译文若干支球队进行循环赛，即每组球队与其他球队各进行一场比赛．已知每组球队赢了10场比赛且输了10场比赛，每场比赛中不出现平局．在三支球队组成的集合{A,B,C}中，A赢了B，B赢了C，C赢了A，请问有多少个这样的集合？

(A)385 (B)665 (C)945

(D)1140 (E)1330

显然，这种情况是可能的：将各球队围成一个圆圈，并且按顺时针的顺序使得每支球队均打败接下来的10支球队．

评注：此题有一定难度，关键是对题目的理解的把握，如果能从题干中获知循环赛的球队数，那么根据循环赛的规则就不难得到本题答案为A．

若考虑将每组球队输或赢的比赛场数推广至n场，则原题可作如下初步推广：

若将原题中满足给定条件的三支球队组成的集合{A,B,C}推广至k支球队组成的集合{a1,a2,…,ak}，则可进一步得到下面的推广2：