对一道高考题的分析

吴镇一

■ 例题（2011年江苏卷第9题）如图1所示，倾角为α的等腰三角形斜面固定在水平面上，一足够长的轻质绸带跨过斜面的顶端铺放在斜面的两侧，绸带与斜面间无摩擦. 现将质量分别为M、m（M>m）的小物块同时轻放在斜面两侧的绸带上. 两物块与绸带间的动摩擦因数相等，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等. 在α角取不同值的情况下，下列说法正确的有（）

A. 两物块所受摩擦力的大小总是相等

B. 两物块不可能同时相对绸带静止

C. M不可能相对绸带发生滑动

D. m不可能相对斜面向上滑动

该题的正确答案是：AC

以下对该问题进行分析：

■ 1. 两物块所受摩擦力的大小必须相等

如图1所示，M、m对绸带的摩擦力均沿斜面向下，由于绸带的质量为零，根据牛顿第二定律，两个物块对绸带的摩擦力必须大小相等，否则绸带的加速度为无穷大，所以A选项正确.

■ 2. M不可能相对绸带发生滑动

若M相对绸带滑动，由于M>m，m不可能提供和M相同的滑动摩擦力，所以M不可能相对绸带发生滑动，C选项正确.

■ 3. 进一步讨论

如图3所示，设两个物块与绸带间相互作用的摩擦力大小均为f，设M的加速度大小为aM方向沿斜面向下；m的加速度大小为am方向沿斜面向上.

对M有：Mgsinα-f=MaM①

对m有：f-mgsinα=mam②

（1） 若m相对绸带静止，设此时两物块的加速度大小为a0，由①②得：

a0=■g

（2） 若m相对绸带滑动，设动摩擦因数为μ，此时f=μmgcosα

由②得：am=g（μcosα-sinα）

当tanα<μ时，am>0，m相对斜面向上运动；

当tanα=μ时，am=0，m相对斜面静止；

若tanα>μ，am<0，m相对斜面向下运动.

由①得：aM=■g

若am>0，由于aM>am（M相对绸带静止，m相对绸带滑动），

即■g>g（μcosα-sinα），即tanα>■，所以当满足：μ>tanα>■时，m相对斜面向上做加速运动.

（3） 当tanα≤■时，两物块均相对绸带静止，此时M的加速度为a0.

■ 4. 结语

本题中，考生对绸带作为轻质模型能准确理解的话，就能选对选项A. 能搞清楚M和m同时相对绸带滑动时，M对绸带的摩擦力要比m对绸带的摩擦力大，才能选对选项C. 要能准确排除选项B、D，这对考生综合分析的能力要求则更高. 通过以上的分析不难看出，当μ、M、m一定时：

（1） tanα≤■，两物块均相对绸带静止；

（2） tanα>■，M相对绸带静止，m相对绸带滑动.

① μ>tanα>■时，m相对斜面向上做加速运动；

② tanα=μ，am=0；m相对斜面静止；

③tanα>μ，am<0；m相对斜面向下做加速运动.