例析定积分的简单应用

高爱莉

一、定积分在几何中的应用

定积分的几何意义：在区间[a,b]上的曲线[y=f(x)]连续且恒有[f(x)≥0]，那么定积分[abf(x)dx]表示由直线[x=a,x=b,x]轴和曲线[y=f(x)]所围成的曲边梯形的面积.

1. 不分割图形面积的求解

例1求由曲线[y=x]，直线[y＝x－2]及[y]轴所围成的图形的面积.

分析结合图形，从图中可以看出所求图形面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求面积[S].

解如图，阴影部分面积即为所求，求得曲线[y=x]与直线[y＝x－2]的交点为[A(4,2)]，

∴[S阴＝04(x－x＋2)dx=(23x32-12x2+2x)40][=163].

2. 分割图形面积的求解

例2计算由直线[y=4]，曲线[y=4x]及直线[y=x]所围成的封闭图形的面积.

分析结合图形，从图中可以看出所求图形面积可以转化为两个曲边梯形的面积的和，进而可以用定積分知识求面积[S].

解由[y=4y=4x]得[A(1,4)]； 由[y=4xy=x]得[B(2,2)]； 由[y=4y=x]得[C(4,4)].

从而所求的图形面积为

[S=12(4-4x)dx+24(4-x)dx]

[=(4x-4lnx)21+(4x-x22)42=6-4ln2].

点拨求曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，并将图形分割为若干个曲边梯形（如例题2）；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分的上、下限；（3）确定被积函数，要特别注意被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形的定积分表达式；（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.

二、定积分在物理中的应用

1. 变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程[s]，等于其速度函数[v=v(t)(v(t)]≥0)在时间区间[[a，b]]上的定积分，即[s=abv(t)dt].

例3一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度[v(t)=5-t+551+t](单位:m/s)紧急刹车至停止，求（1）火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后，火车运行的路程.

分析火车停止即速度为零，火车运行的路程即为速度函数在这一时间段上的定积分.

解（1）火车停止时，[v(t)=0]，

所以[5-t+551+t=0]，解得[t=10].

即火车从开始紧急刹车到完全停止所经过的时间为10秒.

（2）紧急刹车后，火车运行的路程

[s=010v(t)dt=010(5-t+551+t)dt]

[=5t-12t2+55ln(1+t)100=55ln11m]

答: 紧急刹车后，火车运行的路程为[55ln11]米.

点拨路程是位移的绝对值，从时刻[t=a]到[t=b]所经过的路程:

（1）若[v(t)≥0,s=abv(t)dt;]

（2）若[v(t)≤0,s=-abv(t)dt;]

（3）若在区间[a,c]上[v(t)≥0,]在区间[c,b]上[v(t)<0]，则[s=acv(t)dt-cbv(t)dt.]

2. 变力做功

一物体在变力[F(x)]（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与[F]相同的方向从[x=a]移动到[x=b][(a

例4 一物体按规律[x=bt3]做直线运动，式中[x]为时间[t]内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例系数为正实数[k]），试求物体由[x=0]运动到[x=a]时，阻力做的功．

分析本题的关键是找到阻力的函数解析式，所以首先要找到物体的运动速度. 结合导数的物理意义，物体的运动速度等于物体的路程关于时间的函数的导数，再代入题意即得到阻力做的功.

解由题意知：物体的位移函数为[v(t)=bt3]，

∴速度函数为[v(t)=x(t)=3bt2].

媒质阻力[f阻=k⋅v2(t)=9kb2t4]，又[t=(xb)13]，

[∴f阻=9kb2t4=9kb2(xb)43=9kb23x43].

∴阻力做的功是

[W阻=0af阻dx=0a9kb23x43dx]

[=9kb23(37x73)a0=277kb23a23].

点拨求变力做功的方法（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力[F]的表达式，这是求功的关键. （2）由功的物理意义知，物体在变力[F(x)]的作用下，沿力[F]的方向做直线运动，使物体从[x=a]到[x=b][(a

练习

1. 由曲线[y＝x2＋1]，[x＋y＝3]及[x]轴、[y]轴所围成的区域的面积为.

2. 函数[f(x)＝x+1 (-1≤x<0),cosx (0≤x≤π2),]的图象与[x]轴所围成的封闭图形的面积为（ ）

A. [32]B. 1 C．2 D. [12]

3. 已知自由落体运动的速率[v=gt]，则落体运动从[t=0]到[t=t0]所走的路程为（ ）

A．[gt203]B．[gt20] C．[gt202]D．[gt206]

4. 如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）

A．0.18J B．0.26J

C．0.12J D．0.28J

答案

1. [103]2. A3. C4. A