一道经典习题的创新演变

许文

一、经典再现

如图1，从竖直圆环的最高点[A]向圆环内作多条不同的光滑的弦轨道，证明：一小物体从[A]点自静止开始分别沿这些轨道自由下滑到轨道另一端的圆环上所用时间相等.

图1

证明设圆的半径为[R]，某一条弦轨道的水平倾角为[α]. 则该轨道的长度[s=2Rsinα]，由牛顿运动定律，知小物体在该弦轨道上无摩擦地下滑时加速度大小为[a=gsinα]，其下滑的时间为[t].

由[s=12at2]，得[t=2Rg]（与[α]无关），即小物体从[A]点自静止开始分别沿这些轨道自由下滑到轨道另一端的圆环上所用时间相等.

二、创新演变

对经典习题进行创新演变，是一种创造性思维，是使思维成果具有新奇性、独立性、目的性和价值性的思维活动. 创新思维包括两个方面：一是重新安排与组合、迁移与应用已有的知识，创造出新的知识和形象；二是突破已有的知识提出新的见解、设想、思路、方法和观点等.

例1在距山坡底端[l=]10m处的[O]点竖直立一直杆，杆长为[h=]10m. 从杆顶到坡的底端拉紧一条光滑的细绳（如图2）. 求一个小环套在细绳上从杆的顶端静止开始滑到坡的底端所用时间. （[g]取10m/s2）

图2图3

解析如图3，作出以[O]点为圆心、[h]为半径的圆. 由于[h=l]，此圆应过山坡的底端. 由等时圆的结论知，小环从杆顶沿细绳静止滑到坡底的时间应与从圆的最高点（即杆顶）沿圆的竖直直径自由下落到的另一端的时间相等. 即[2h=12gt2]，可得[t=2s].

例2如图4，倾角为[α]的斜面外有一定点[A]，从[A]点在同一竖直平面内作多条直轨道，一个小物体从[A]点静止出发分别沿这些轨道无摩擦地下滑到斜面上，求所用时间最短的轨道与竖直方向的夹角[β].

图4 图5

解析以[A]点为最高点作一与斜面相切的圆，如图5，切点[B]与[A]点的连线即为小物体从[A]点静止开始滑到斜面上所用时间最短的轨道. 设圆心在过[A]点的竖直线上[O]点，连[BO]，由几何知识可得[β=α2.]

例3竖直圆周内有三条光滑直杆[AD、BD、CD]，其水平倾角分别为[30°]、[60°]、[90°]，如图6. 一个小环分别从[A、B、C]静止开始沿三条直杆下滑到[D]点所用时间分别为[t1、t2、t3]. 则（ ） 图6图7

A．[t1>t2>t3] B．[t1

C．[t1=t2=t3] D．[t2>t1>t3]

解析以[D]点为最低点，在竖直平面内分别作过点[A、B ]的圆，与过[D]点的竖直线分别交于点[A′]、[B′]，如图9. 小物体静止开始从[A]点沿[AD]滑到[D]点的时间与从[A′]点自由下落到D点的时间相等；同理小物体从[B]点到[D]点时间与从[B′]自由下落到[D]点时间相等. 故有[t1>t2>t3].

答案A

例4如图8，[A]点为竖直圆的最低点，从圆上[O]点作[OA、OB]两条光滑直轨道，一小物体自[O]点分别沿[OA、OB]两轨道下滑到圆上[A、B]两点的时间为[tA、tB]. 则（ ）

图8 图9图10

A．[tA=tB] B．[tA>tB]

C．[tA

解析解法1，如图9，过[A]点作[AO1]平行且等于[BO]，则[tB]等于小物体从[O1]点静止沿[O1A]滑到[A]点的时间，故有[tA

解法2，如图10，作以[O]点为最高点且过[A]点的圆与[OB]交于[B1]点. 则[tA]等于小物体从[O]点静止沿[OB1]滑到[B1]点的时间，故有[tA

答案 C

例5如图11，竖直平面内一定圆[O]与水平地面相切于[M]点，圆外定点[A]与圆在同一竖直平面内. 从[A]点作四条光滑直轨道到圆上，其中轨道[AC]过圆心[O]，轨道[AB、AE]是圆的切线，轨道[AD]过地面切点[M]. 一个小物体从[A]点静止开始分别沿轨道[AB]、[AC]、[AD]、[AE]滑到圆上，所用时间最短的是（ ）

圖11图12

A．[AB]B．[AC]C．[AD]D．[AE]

解析解法1，如图12，从[A]点向圆作任意一条光滑轨道与圆交于[P、Q]，此轨道的水平倾角为[α]，设轨道竖直高度[AF=h]，则小物体从[A]点静止开始沿此光滑轨道下滑到[P]点时间

[t=2APgsinα=2APgh/AQ=2AP⋅AQgh=2AB2gh]

由于[AB]为定值，欲使[t]最小，则[h]应最大. 当[h]最大时，[Q]点应与[M]点重合. 即物体沿[AD]轨迹滑到圆上，所用时间最短.

图13

解法2，如图13，设固定圆的半径为[R]，过[A]点作竖直线[AG]，在[AG]上取[AC=R]，连[OC]，作[OC]的垂直平分线交[AG]于[O1]，以[O1]为圆心、以[O1A]为半径作圆与固定圆外切于[D]点，连[AD]. 可以证明[AD]的延长线通过[M]点.

答案C

点拨习题训练是同学们掌握知识、培养思维、提高能力的重要环节. 对经典习题的创新演变应具有实践性、新颖性、灵活性、综合性特点，有利于创新思维的培养. 对经典习题充分讨论，进行一题多解、一题多变、一题多思，展示分析问题的思维过程，有利于总结思维方法，提高创新思维能力.