数学图式:促进教和学的意义融通?

真正的学习是不能在主体间直接“传递”的,换句话说，学习不是“我一说你就会”的，教师永远无法代替学生去学习。在教学现场，我们从学生的学习方式和生存状态的视角观察教师的教学现状，发现不少人习惯于教师成人思维方式的“直接传递”，忽视学生的个体学习经验。那么学生究竟是以什么样的方式内化知识?教学如何遵循学生认知规律和个体学习经验？我们需要在教和学的过程中架构一条学习通道，引发学生形成具有自身学习方式和学习经验参与的内在转化，从而获得对数学知识本质的理解和运用。笔者以为，其中一个重要的途径就是让数学学习图式始终伴随着儿童学习数学的过程，使教和学产生建立在不同数学知识意义上的融通。

一、数学学习是帮助学生把数学知识图式化、经验化的重要过程

为什么说学生的数学学习是图式化和经验化的过程？儿童究竟以什么样的方式进行学习？知识是以什么样的形式存在于儿童的经验世界中？

图式是“潜藏在人类心灵深处”的一种技术，一种技巧（康德）。作为潜藏在人类心灵深处的技术和技巧显然具有个体独特的内在学习方式，是一种带有个体印记的经验化的过程。鲁墨哈特认为图式是对于知识的特有的表征方式。皮亚杰认为图式是“一个有组织的、可重复的行为或思维模式”，儿童在与外部环境“同化”与“顺应”相互作用的过程中，建构起具有自身认知结构的知识。同化是吸收外部信息并整合到已有的认知结构(也称“图式”)中；顺应是原有认知结构无法同化新信息时所引起的认知结构发生重组与改造的过程。可见，同化是认知结构数量的扩充(图式扩充)，而顺应则是认知结构性质的改变(图式改变)。儿童就是通过同化与顺应这两种形式来达到与周围环境的平衡。因此，我们把学生的数学学习过程看作是一个图式化与经验化的过程，是学生个体的内在知识，通过教师外化的教学方式及教学情感的介入，促使学生内化从而形成知识的储存、理解、提取、运用等的方式。刘秀梅在《论数学图式的类型、特点及功能》一文中认为：数学图式从数学知识的呈现的形式来看，可以分为概念图式和原理图式；从知识的类型来看，可以将图式分为陈述性知识图式、程序性知识图式和策略性知识图式；从解决数学问题的角度看，可以将图式分为论证图式和计算图式。从对数学问题认识的角度看，可以将图式分为情境图式和反思图式。从认知数学的程度看，可以将数学图式分为表象图式、符号图式和言语图式。

学习过程常常是图式化的过程。首先，知识可以被浓缩成框架，突出重点。其次，知识可以被提炼成记忆线索和“组块”，减少阅读时间，增大储存和学习空间。最后，知识可以被重新组合成网络。当图式不能适应课文信息时，就要对原有图式进行调整、改造、补充和修正，使之适应新的需要，顺应新的图式。

1.从知识的本身看，数学知识是符号化的结果，图式对符号化过程起到半抽象的作用

数学知识在形成的过程中经过了众多数学家的研究推定和符号建构，而符号化可以把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，也就是将实际问题中的数量关系及变化规律用符号表达出来。符号化超越了实际问题的具体情境，揭示和指明了存在于某一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平，这是数学活动和数学思考最本质的东西。符号可分为推理符号和表象符号，语言属推理符号，其它更多地属于表象符号。学生在数学符号化的过程中，需要浓缩和解释概念、术语，形成自己的语言图式；或通过图表图式记取、运用的方式发现数学规律，学会数学应用。比如，认识数“5”，观察5个苹果，5支铅笔，5个人……它们都可以用数字“5”来表示，当学生看到数字5，就会和数量是5的具体实物联系起来，联想到5所表示的不同含意。在这个过程中，符号帮助学生建立了数学图式。

2.从学习的角度看，知识不能单纯地复制粘贴，图式可以促进主体对知识的有效理解

无论是什么知识，无论通过什么方式向学生传递，都需要学生个体的内在认知理解和主动建构。图式是兼有个性认识的特殊的经验技巧，是个体经验化的印记过程，当静态的数学知识成为每个学习个体的知识时，图式帮助我们浓缩冗长的数学概念语言而留下简洁的数学语言。比如：由三角形的顶点向对边所作的垂直线段的长度，叫三角形的高。语言图式可以帮助我们简洁地理解三角形的高就是“顶点到垂足的线段”。图式也帮助我们推导数学图式，理解数学公式。比如：三角形的面积计算公式是：三角形的面积＝底×高÷2，学生知道了两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形（底和高分别相等），平行四边形的面积＝底×高，所以三角形的面积要多个“÷2”。在学生的头脑中，有了数学公式的图式，有了“两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形”的拼图，自然就能理解和推导出三角形的面积计算公式，建立了用字母图式表示三角形的面积计算方法的图式，对计算中容易丢失的“÷2”的问题也就可以大大减少了，促进了对数学的理解。

3.从教学的角度看，知识不能简单地传递灌输，图式促进主体产生有意义的经验建构

波兰尼有一个非常著名的认识论命题：“我们所认识的多于我们所能告诉的。”从教学的角度看，无论什么样的教学方式都不能绕过知识这个核心，都需要通过学生个体建构内在的学习图式，某种意义上来说，学生的学习图式类似于缄默知识隐藏在冰山底部。不论什么知识，都以一个个的单位储存在我们的记忆中，认知科学家称每一个知识的储存单位为一个图式。简单地说，图式是信息处理所依据的最基本单位，一个图式表征一个概念及其所相关的知识。数学知识是前人的研究成果，不可避免地带有经验的色彩，后人学习的过程，是对静态的数学知识的个性化理解，因而教学是动态的数学图式的建构，可以促进学生对静态知识的经验理解和有意义的建构。

二、数学图式是促进学生把数学知识抽象化、系统化的核心手段

1.数学图式的符号化、抽象性特点有利于帮助学生理解数学问题，寻找解题规律

现代认知学习理论认为：知识不能简单地由教师或其他人传授给学生，应该由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地建构，并通过师生所组成的学习共同体共同完成。“意义学习”即“图式学习”,学习者正确图式的建构对数学知识的掌握具有十分重要的意义。

当面临一个具体情境时，学生能通过自己的语言进行描述和最终运用符号，将这个关系的规律表达出来。比如人教版四年级下册“数学广角”的一道练习题，一张餐桌上坐6个人，两张餐桌并起来坐14个人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38个人，需要多少张桌子才能坐下？这是一道探索规律的问题，学生在解决这个问题的过程中，经历了由特殊到一般的归纳方法。可以先画图帮助自己理解：求2张餐桌，3张餐桌可坐多少人？但是餐桌多的时候，就无法再用画图来计算了，这就需要动脑筋去思考其中的规律。只有发现了这一规律，并用符号图式表示出来，才能很快计算出摆放任意张餐桌可坐几个人。在解题的过程中，学生运用符号图式和言语图式理解数学问题，把具体的问题情境抽象化，寻找到了解题的规律。

2.数学图式的网点化、结构化特点有利于帮助学生沟通数学联系，形成系统知识

由于数学知识是高度结构化的，因此，选用数学图式把握和分析数学知识，有利于形成数学学科结构、单元或主题结构，让学生“见树木，更见森林”，“见森林，才见树木”。

数学图式把数学知识串点成线，织线成网、沟通知识间的联系，突出数学知识的系统性，彰显重点难点，梳理逻辑顺序。从这点上来说，数学图式无疑为学生科学地学习数学知识提供了一条有效的路径。通过建构自己的数学图式，学生可以得到简约的、结构化的数学知识。因而数学图式的建构有利于学生系统掌握知识，有利于学生把知识加工成有联系的网状结构，从而促进学生头脑中的数学图式的形成和发展，培养学生思维的整体性和敏捷性，列表法、图解法（符号化）、纲带目法、树型图、集合图等等都有利于形成学生系统的数学学习图式。

3.数学图式的形式化、层级化特点有利于帮助学生建立数学概念，理解数学规律

小学数学很多是具有形式规则的，并经常以公式的形式来表达，如a+b=b+a，s=ah等。理解数学形式，有利于理解数学内容，是提升数学理解的有效途径。

斯法德（sfard）曾强调：数学概念与实体的结构和运算间的互补性具有极强的教育价值。对数学概念结构的理解是有效运用数学概念进行运算的前提条件，低水平的具体化与高水平的内化是互为前提的，在数学学习过程中，有些学生将代数术语仅视为符号。如(a+b)×c=a×c+b×c，很多学生在运用乘法分配律进行运算时，并没有对这种数学形式实现内容的具体化。数学结构比数学运算更难以理解，需要通过恰当的数学活动来实现具体化，表象图式就是实现具体化的有效途径。要发展学生对数学形式的理解，为符号感的培养提供契机，就要让学生掌握数学形式的运算和结构。

数学知识由多个知识点构成，一般以解决问题的形式被学生体验和领悟。反映每一个知识点的相应问题，称为知识点的基本题型，涉及多个知识的问题构成了综合题。图式复习，可以将每个知识点的复习按四个项目进行整理，第一项是“知识点”（可以是一课、一章节、一个专项等的知识）；第二项是“基本题型”（与知识点相应的典型例题）；第三项是典型综合题（和知识点有关的综合题）；第四项是易错题（相应知识点题目中的典型错误）。

数学图式的层级化集中表现在动作图式、表象图式、思维图式等方面。动作图式依靠动作表征数量关系及语义；表象图式是动作图式内化的结果；思维图式是利用符号理解语义、进行解题的。教师应该视学习为一个图式获得和完善的过程，关注图式建构的策略。学生有时可能只选择经验或课堂所学的一小部分加以识记，也可能会曲解所识记的知识，教师应该有针对性地干预。当学生能够将新知识纳入已有的图式，或通过对已有图式的修改创建新的图式时，学习才是有意义的。

（王乃涛，淮安市实验小学，223002）