一道三角函数问题的多种解法

李伟

解决数学问题常常可以从多个角度出发，灵活把握，使学生的思维得到锻炼.下面就一道三角函数问题进行说明.

已知y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-对称，求实数a的值.

解法一：

y=sina2x+acos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=a

∵函数的图像关于直线x=-对称

∴2×+φ=+kπ，k∈Z

整理得φ=+kπ，k∈Z

∴a=tan（+kπ）=-1

解法二：

y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=a

∵函数的图像关于直线x=-对称

∴当x=-时函数取到最值，即f（-）=±

∴sina2×（-）+acos2×（-）=±

两边平方得（1+a）=0

∴a=-1

解法三：

∵f（x）=sin2x+acos2x

∴f′（x）=2cos2x-2asin2x

∵函数的图像关于直线x=-对称且函数y=sin2x+acos2x处处连续

∴当x=-时函数取得极值

∴f′（-）=0即2cos（-）-2asin（-）=0

∴a=-1

解法四：

∵函数的图像关于直线x=-对称

∴f（-）=f（0），即sin（-）+acos（-）=sin0+acos0

∴a=-1

解法五：

f（x）=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）=sin［2（x+）］，tanφ=a

将函数y=sin2x+acos2x的图像按照向量=（,0）平移后即得函数f（x）的图像

∵y=sin2x+acos2x的对称轴方程为直线x=+，k∈Z

根据平移坐标公式函数f（x）的图像的对称轴为x=+-，k∈Z

将x=-代入上述直线方程得到φ=+kπ，k∈Z

∴a=tan（+kπ）=-1

解法六：

-（|sin2x|+|acos2x|）≤sina2x+acos2x≤|sin2x|+|acos2x|且-≤sin2x+acos2x=sin（2x+φ）≤，其中tanφ=a

∴|sin2x|+|acos2x|≤（＊）

∵函数的图像关于直线x=-对称

∴当x=-时函数取得极值，即当x=-时不等式（＊）取得等号

∴|sin（-）|=|acos（-）|，∴a=±1

经检验当a=1时与题意不符，舍去，∴a=-1.