换一只眼看数学

周海清

函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连接的主干作用. 用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想. 具体讲就是通过类比联想转化，合理地构造函数，从而有效降低题目难度，以达到轻松解题的目的. 函数思想的运用范围不仅在函数问题的高考试题中，而且在不等式、数列、解析几何等问题中也有不俗表现.

1. 数列

数列从本质上来讲是函数，用函数思想解决数列问题不但能够加深对数列概念的理解，而且能加强知识点间的联系.

例1 等差数列｛bn｝中，b1 > 0，前n项的和为Tn，若Tl = Tk（l ≠ k），当n取何值时Tn最大？

解析 运用数列中的通项公式的特点，把数列问题转化为函数问题解决.

设ｆ（ｎ） ＝ Ｔｎ ＝ ｎｂ１ ＋ ｄ，ｎ∈Ｎ，

则ｆ（ｎ） ＝ ｄｎ２ ＋ （b１ － ）ｎ，此函数是以ｎ为自变量的二次函数．

∵ b１ ＞ ０，Ｔｌ ＝ Ｔｋ（ｌ ≠ ｋ），

∴ d < 0，

∴ 二次函数ｆ（ｎ）的图像开口向下．

∵ ｆ（ｌ） ＝ ｆ（ｋ），

∴ 当ｘ ＝时， ｆ（ｘ）最大，但ｆ（ｎ）中ｎ∈Ｎ，

∴ 当l + k为偶数时，n = 时，Tn最大.

当l + k为奇数时，n = 时，Tn最大.

2. 平面解析几何

在解决平面解析几何问题时，若是能够通过仔细读题，发现某些点、线之间的联系，并用函数来刻画，往往会起到事半功倍的效果.

例2 设a > b > c且a + b + c = 0，抛物线y = ax2 + 2bx + c被x轴截得的弦长为m，证明： < m < 2.

解析 由于弦长m是与ａ，ｂ，ｃ有关的变量，若能找到它们之间的关系式，问题就变简单了.

∵ a > b > c且a + b + c = 0，

∴ ａ ＞ ０，ｃ ＜ ０.

∵ Δ = 4b2 - 4ac > 0，

故方程ａｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０必有两个不同实根ｘ１，x2 .

∴ m2 = （ｘ１ － ｘ２）２ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ － ４ｘ１ｘ２ ＝-=

４（ - ） = 4［(1 + )2 - ］ = 4（ + ）2 + 3.

∴ m2是的二次函数，由a > b > c且a + b + c = 0，可知-2 << -，当< -时，m2是单调递减的．

∴ ４（－ ＋ ）２ ＋ ３ ＜ ｍ２ ＜ ４（－２ ＋ ）２ ＋ ３，

即3 < m2 < 12，又m > 0，

∴< m < 2.

例3 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e = ，已知点P（０，）到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.

解析 设椭圆的方程为 += 1，因为e = ，

∴== ，

∴ a = 2b，故 +＝ １．

设椭圆上的点P１（ｘ，ｙ）到P的距离为ｄ，则

ｄ２ ＝ ｘ２ ＋ （ｙ － ）２ ＝ ４ｂ２ － ４ｙ２ ＋ ｙ２ － ３ｙ ＋＝

－３（ｙ ＋ ）２ ＋ ４ｂ２ ＋ ３（－ｂ ≤ ｙ ≤ ｂ）.

若ｂ ＜ ，则当ｙ ＝ －ｂ时，ｄ２ｍａｘ ＝ （ｂ ＋ ）2，

∴ （）2 = （ｂ ＋ ）2，

即b =-> ，与b < 矛盾.

若b ≥ ，则当y = - 时，d2max = 4b2 + 3.

∴ （）2 = 4b2 + 3，得b = 1.

∴ a = 2.

综上所述，椭圆方程为 ＋ ｙ２ ＝ １，且椭圆上的点（±，）到点P的距离等于.

3. 组合

例4 证明：当ｎ ≥ ３时，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.

证明 设ｆ（ｘ） ＝ （１ ＋ ｘ）ｎ ＝ Ｃ ＋ Ｃｘ ＋ Ｃｘ２ ＋ … ＋ Ｃｘｎ，

ｆ（１） ＝ Ｃ ＋ Ｃ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ，

＝ １ ＋ ｎ ＋ Ｃ ＋ … ＋ Ｃ ＋ ｎ ＋ １

＝ ２（１ ＋ ｎ） ＋ （Ｃ ＋ … ＋ Ｃ） ＝ ２ｎ.

当ｎ ＝ ３时，２ｎ ＝ ２（１ ＋ ｎ），

当ｎ ＞ ３时，２ｎ ＝ 2（１ ＋ ｎ） ＋ Ｃ ＋ … + Ｃ，

∴ 当ｎ ≥ ３时，２ｎ ≥ ２（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ）.

4. 解不等式问题

在解决有些不等式问题时，若运用函数的视野去分析、推理的话，可以让证明轻松许多.

例5 证明不等式： < （ｘ ≠ ０）.

解析 一般证法是分x > 0或x < 0讨论，但运算量较大. 这里不妨试试构造函数ｆ（ｘ） =- （ｘ ≠ ０）.

∵ ｆ（－ｘ） =-= －ｘ（１ ＋ ） ＋=-= ｆ（ｘ）,

∴ ｆ（ｘ）是偶函数. 当x > ０时，１ － ２ｘ ＜ ０，从而ｆ（ｘ） ＜ ０，

于是ｘ ＜ ０时，ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｘ） < 0，

故当x ≠ 0时，恒有ｆ（ｘ） < 0，即 < （ｘ ≠ ０）.

5. 求值

求某些代数式的值时，可以将代数式转化为函数式，以提 高解题速度.

例 ６ 如果实数ａ，ｂ满足（ａ － ２）２ ＋ ｂ２ = 3，那么的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

解析 由已知，等式两边同除以a2得项，同时可得到关于的二次函数，求此函数值最大值即可.

两边同除以ａ２，得

（）2 -+ 1 += 0.

即（）2 = -（ - 2）2 + 3,

又 ｂ２ ＝ ３ － （ａ － ２）２ ≥ ０,

∴ 2 -≤ a ≤ 2 + ,

当 = 2，即a = ∈［2 - ，２ + ］时，（）2max =3，

∴ （）max = .

例7 设实数ｘ，ｙ满足x3 + 2x + a = 0，y3 + 2y - a = 0，试求x + y的值.

解析 直接解这两个方程，显然运算量太大，不明智，通过观察发现，可把两个方程变为：ｘ３ ＋ ２ｘ ＝ －ａ，ｙ３ ＋ ２ｙ ＝ ａ．

构造函数ｆ（ｔ） ＝ ｔ３ ＋ ２ｔ（ｔ∈R）， 显然ｆ（－ｔ） ＝ －ｆ（ｔ），

∴ｆ（ｔ）为奇函数.

∵ ｆ（ｘ） ＝ －ａ，ｆ（ｙ） ＝ ａ，所以ｆ（ｘ） ＝ －ｆ（ｙ），

又ｆ（ｔ）为奇函数，所以ｆ（ｘ） ＝ ｆ（－ｙ）.

易证，ｆ（ｔ）为增函数，所以ｘ＝－ｙ，

故ｘ ＋ ｙ ＝ ０．

通过上面的例子，我们可以看到，函数思想作为重要的数学思想之一，渗透在很多知识点里面，我们平时在教学时应注意多去发掘、培养、训练、强化这种解题思想，让它不只是局限在用来专门解函数题上面，而应该有更广泛的应用. 善用它，可使我们在解决相关题目时更轻松、更高效.