浅析初中生解一元一次不等式(组)应用题的困难及应对策略

王学海

【摘要】 现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系. 解决实际问题的过程中，有时不能确定或无需确定某个量的具体取值，但可以求出或确定这个量的变化范围，不等式（组）就是探求不等关系的基本工具. 列不等式（组）解决实际问题是初中数学中的难点，同时也是中考的热点. 解这类题的关键是在实际问题中找出相等关系和不等关系，列出方程和不等式. 但在解不等式（组）时有的同学常因基础不扎实、概念不清、粗心大意，而在解题过程中遇到各种困难.

【关键词】 初中生；一元一次不等式（组）应用题；应对策略

对于“不等式（组）”，新课程标准的具体要求是：“能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式和一元一次不等式组， 解决简单的实际问题， 并体会不等式（组）也是描述实际问题的一个有效的数学模型.”

虽然同学们都能够记住解题步骤，但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在，使学生们在解题过程中遇到困难，而不能得到正确的解.

一、解题中遇到的困难及常见错误

１． 生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大屏障

例１ 地砖按每块５．５元出售，地砖每边长３５厘米，用这种砖铺满长７．８米、宽５．７米的房间，需花费多少钱购买地砖？

评析 要正确地解应用题，必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求. 本题中，学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义，否则不能读懂题意.“地砖问题”中的事实知识包括长方形、正方形的概念，以及米与厘米之间的进率换算. 像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多，信息量大，经验不足导致学生读不懂题目，不知从何下手，是学生最伤脑筋的. 总之，学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量，已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺.

2． 思维定式造成设未知数出错并带来列式困难

例２ 苏科版八年级下教科书２０页练习第１题.

某班学生外出春游时合影留念，１张彩色底片的费用为１元，冲印１张彩照需０．６元. 如果每人预定１张彩照，且每人所花费用不超过０．８元，那么参加合影的学生至少有多少人？

错解 设参加合影的学生至少有ｘ人， （错误原因：设未知数不确切，应改为设“参加合影的学生有ｘ人”）

则１ ＋ ０．６ｘ ≥ ０．８ｘ，（错误原因：列式时不等号反向）

解这个不等式，得 ｘ ≤ ５.

答：参加合影的学生有５人． （错误原因：认为此题结果是确定值，而此题结果是一个取值范围）

评析 在列不等式解应用题中，学生设未知数时，往往受方程应用题的迁移，沿用求什么设什么的做法，常给列式带来困难，甚至出错．

3． 列不等式（组）时忽视关键词

例３ （２０１１山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”. 计划用不超过１９００本科技类书籍和１６２０本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共３０个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍８０本，人文类书籍５０本；组建一个小型图书角需科技类书籍３０本，人文类书籍６０本．

（１）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；

（２）若组建一个中型图书角的费用是８６０元，组建一个小型图书角的费用是５７０元，试说明（１）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？

解 （１）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（３０ － ｘ）个．由题意，得

８０ｘ ＋ ３０（３０ － ｘ） ≤ １９００，５０ｘ ＋ ６０（３０ － ｘ） ≤ １６２０，

解这个不等式组，得１８ ≤ ｘ ≤ ２０．

由于ｘ只能取整数，∴ ｘ的取值是１８，１９，２０．

当ｘ ＝ １８时，３０ － ｘ ＝ １２；当ｘ ＝ １９时，３０ － ｘ ＝ １１；当ｘ ＝ ２０时，３０ － ｘ ＝ １０．

故有三种组建方案：方案一，中型图书角１８个，小型图书角１２个；方案二，中型图书角１９个，小型图书角１１个；方案三，中型图书角２０个，小型图书角１０个．

（２）方案一的费用是：８６０ × １８ ＋ ５７０ × １２ ＝ ２２３２０（元）；

方案二的费用是：８６０ × １９ ＋ ５７０ × １１ ＝ ２２６１０（元）；

方案三的费用是：８６０ × ２０ ＋ ５７０ × １０ ＝ ２２９００（元）．

故方案一费用最低，最低费用是２２３２０元．

评析 解这类应用题的难点在于理清题意，寻找题目中的关键词语. 例３中的两个关键词“不超过”、“ 不少于”是列不等式（组）的依据. 另外还要注意所设未知数受实际情况的制约，此例中中型图书角的个数ｘ应是正整数．

不等式应用题的取材广泛，又紧密结合实际生活，解这类题首先要理清题意，寻找关键词，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等，从而找到不等关系，列出不等式（组），通过解不等式确定不等式的解，最后要检验所求解是不是与实际问题相符合.

4． 移项或两边同乘（除）负值时不变号

根据题意正确地列出不等式（组）后，最重要的是解不等式（组）．

例４ 解不等式：２ｘ ＋ ４ ＞ ｘ － １．

错解 移项，得２ｘ ＋ ｘ ＞ －１ ＋ ４．

即３ｘ ＞ ３，则ｘ ＞ １．

例５ 解不等式：－３ｘ ＋ ９ ＜ ０．

错解 移项，得－３ｘ ＜ －９．

系数化为１，得ｘ ＜ ３．

评析 上面两例均犯了不变号的错误. 例４、例５分别因“移项要变号”、“不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向应改变”这类知识点不能及时回应所致. 因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心. 例４的正确结果应为ｘ ＞ －５，例５的正确结果应为ｘ ＞ ３.

5． 概念或意义不明确

例６ 求不等式 ２ｘ － ４ ＜ ０的非负整数解．

错解 因为２ｘ － ４ ＜ 0的解为ｘ ＜ ２，所以它的非负整数解为１．

例７ 解不等式：｜ｘ｜ ＜ ３．

错解 ｘ ＜ ３．

评析 例６和例７错误的原因主要是对某些概念不明确或混淆，如“非负整数解”、“绝对值”等. 非负整数应包括0和一切正整数，故例６正确解为：０和１. 绝对值的意义是指在数轴上某个数到原点的距离，故例７的正确解为：－３ ＜ ｘ ＜ ３.

6． 去括号时不遵守运算法则

例８ 解不等式：３ｘ － ２（１ － ２ｘ） ≥ ５．

错解 去括号，得３ｘ － ２ － ２ｘ ≥ ５，

故ｘ ≥ ７．

评析 本题有括号，根据解不等式的步骤，要先去括号. 括号前的数要与括号里的各项相乘. 去括号时，除应遵循乘法的分配律不能漏乘外，还应遵循去括号法则：去括号时，括号前面为“－”，去括号要将括号里的各项都变号. 本题产生错解的原因有两点：括号外的数只与第一项相乘，括号前面是负号只对第一项变号. 因此本题的正确解应为ｘ ≥ １.

7． 去分母时，漏乘不含分母的项

例９ 解不等式： ＋ ２ ≥ －２ｘ．

错解 去分母，得ｘ － １ ＋ ２ ≥ －４ｘ．

移项、合并同类项，得５ｘ ≥ －１，即ｘ ≥ －．

评析 本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，去分母时，不等式的两边同乘各分母的最小公倍数，漏乘不含分母的项，漏乘了常数项，这是解一元一次不等式（组）时常出的错误之一，应引起高度重视. 因此本题的正确解应为ｘ ≥ －.

８. 分子是多项式，去分母时忽视了分数线的括号作用

例１０ 解不等式： －＞ ０．

错解 去分母，得４ｘ － １ － ３ｘ － １ ＞ ０，

移项、合并同类项，得ｘ ＞ ２．

评析 去分母时， 当分子是多项式时，各分式的分子必须看成一个整体. 忽视分数线的括号作用也是解一元一次不等式时常出的错误之一.为避免出这类错，应分别对分子添加括号，再运用去括号法则. 例10中没有添加括号导致了错误.

正确 去分母，得２（２ｘ － １） － ３（ｘ － ２） ＞ ０．

去括号，得４ｘ － ２ － ３ｘ ＋ ６ ＞ ０，

移项、合并同类项，得ｘ ＞ －４．

二、学好解一元一次不等式（组）及应用题的策略

1． 理解有关的概念

① 不等式：用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子，叫做不等式.

② 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一次不等式. 分母中不能含有未知数.

③ 不等式的解：在含有未知数的不等式中，把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式若有解，一般它的解有无数个.

④ 不等式的解集：如果一个不等式有解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集. 不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值.

２． 领悟不等式的三个基本性质

① 不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.

② 不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

③ 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.

不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据，其中前两个性质类似于等式的性质，而在运用性质③时，要注意必须改变不等号的方向，这是不等式特有的性质.

3． 牢固掌握不等式（组）的解法

解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同：① 去分母；② 去括号；③ 移项；④ 合并同类项；⑤ 系数化成１.

各步需注意事项：① 去分母：不要漏乘不含分母的项，是否改变不等号的方向；② 去括号：括号前是负号时，括号内各项均要变号；③ 移项：移项要变号；④ 合并同类项：系数相加，字母及字母指数不变；⑤ 系数化成１：是否改变不等号的方向.

4． 牢固掌握列不等式（组）解应用题的步骤，抓住不等关系关键词，挖掘隐含的不等关系

在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语，如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等．我们一定要利用好这些关键信息，列出不等式（组）以解决实际问题.

有些题目中无明显表示不等关系的关键词，而是深藏于题意中，这就要求老师引导学生根据问题的实际意义，深入挖掘蕴含其中的不等关系．

5. 重视不等式（组）应用题的教学

在平时的教学过程中， 教师既要注重知识的传授和题目的解答，也要重视学生的实践性活动的开展和教学，这样才会避免数学和实际生活脱节，同时教学中要不断地增加新的背景和内容， 跟上时代，弥补生活经验的不足，激发学生学习的热情．对于不等式（组）应用题文字较多学生获得信息困难的问题，教师平常在教学中在应用题上要多停留，有耐心.

在实际问题中，有许多用方程很难解决的问题，而用不等式去处理则可轻易解决. 应用题是初中数学的重点，列不等式解应用题是初中数学的难点，根据题意正确地列出不等式（组），解应用题就成功了一半. 一元一次不等式（组）的解法十分重要，它与一元一次方程的解法有许多相似之处，但又有其自身特点，同学们要认清两者解法的联系与区别. 正确应对学生在解题过程中遇到的困难，提高学习的积极性，增加学习数学的兴趣，才有可能应用一元一次不等式（组）去解决生活中的实际问题.

【参考文献】

［１］钟山．不再让学生的困惑成为课堂教学的遗憾——《一元一次不等式组》教学片段所感［Ｊ］.学生之友（初中版）（下）,２０１０（１１）．

［２］赵春祥．列一元一次不等式解应用题［Ｊ］.初中生，２００９（６）．

［３］石卫东．解一元一次不等式的常见错误分析［Ｊ］.中学生数学，２００３（１０）．

［４］任保平． 解一元一次不等式常见错误剖析［Ｊ］.数理化学习（初中版），２００３（３）．

［５］栾绪友．学好一元一次不等式［Ｊ］.中学生数学，２００９（１４）．