集论

邓建国

组成集的对象称为集的元素.我们用大写字母表示集，用小写字母表示集的元素.

命题“元素α属于集A”记作：α∈A.如果元素α不属于集A，则记作α麬.如果集A的所有元素都含在集B中，则记作A糂，在这种情况下A称为B的子集（有可能A与B重合，亦即A与B由相同的元素组成：A＝B）.如果A≠B，子集A糂称为真子集.不含有任何集的称为空集，并用符号帘硎.

具有性质N的元素的总体（集）记作：｛x:N｝.

1奔上的运算

由全部至少属于集A和B之一的那些元素组成C称为两个集A和B的和：C＝A∪B.(更一般地，C=∪αAα，足标α属于某个集).

由全部既属于集A又属于集B的那些元素组成的集C称为集A与B的交：C＝A∩B(更一般地，C=∩αAα).

属于集A但不属于B的元素的总体C称为集A与B的差：C＝A＼B.

集C＝(A∪B)＼(A∩B)＝A△B称为集A和B的对称差.

我们常常要研究不同的事，这些集全是某个基础集S的子集.在这种情况下，如果A糂，那么差S＼A称为集A的补A′:A′=S＼A，集S称为单位.

集论中的对偶性原理乃是上面所引进的定义的直接而显然的推论：

（1）和的补等于补的交；

（2）交的补等于补的和.

2庇成

设A和B是两个集.假定集A的每个元素α对应于含于集B的一个确定的元素b=g(a).在这种情况下我们确定了集A到集B中的一个映射（函数）g.

元素b称为元素a在映射g下的象，而元素a称为元素b的逆象或逆象之一.

如果集B的每个元素在映射g下至少有一个逆象，那么映射g是A到B上的映射，g:A→B.

设M糀，那么g(M)表示B中是元素α∈M的象的那些元素的集.

集g(M)称为集M在映射g下的象.如果N糂，那么用g-1(N)表示A中那些元素的集，它们的映射g下的象在N中，集g-1(N)称为集N在映射下的完全逆象.

映射g有时方便地称作定义域为集A而值域在集B中的函数.在某些数学分支中，根据集A和B的特性和g的性质，映射g称为算子、泛函、等等.

如果集B的每个元素在映射g下有一个而且只有一个逆象，集A到集B上的映射g被称作一对一的（这样的映射还称作可逆单值的）.

显然，如果g是集A到集B上的一对一的映射或是这两个集的元素间的一对一的对应，那么我们可以定义g的逆映射g-1，亦即由方程b=g(a)，若已知元素b，则可单值地确定a，同时a=g-1(b).

任何一个这样的映射F(a1，a2，…)，若它对全部a1，a2，…∈A有F(g(a1)，g(a2)，…)=F(a1，a2，…)，以及任何一个这样的关系P(a1，a2，…)=T，若它对全部a1，a2，…∈A有P(g(a1)，g(a2)，…)=T，则这个映射以及这个关系称为关于映射b=g(a)是不变的.

3奔的直积

设Ω＝｛1，2，…，n｝，并且A1，A2，…，An是某个集A的子集，集Ak的直积∏nk=1Ak乃是所有的这种把Ω映射到A中的函数f的总体，它使得f(k)∈Ak(k=1，2，…，n)成立.显然，∏nk=1Ak可以看成是所有可能的组(a1，a2，…，an)，ak∈Ak.

4钡仁萍

集A与B称作等势的，如果它们的元素之间可以建立一对一的对应.

一个集是有限的，如果它与自然数组｛1，2，…，n＜∞｝等势.

一个集称为可数的，如果它与自然数列｛1，2，…，n，…｝等势.

一个集称作具有连续统的势的集，如果它与线段［0，1］的点的集等势.

集A的势记作|A|.

度量空间.

开集和闭集.

在数学分析中极限的概念起着极重要的作用，对象间的这种或那种的距离概念是各种极限定义的基础.所以很自然地试图将抽象性质的元素——任意集的元素引进距离的定义，然后引进极限过程的概念.

定义1我们在集X上定义了一个度量空间结构，如果给定了一对自变量的函数ρ:X×X→R1(R1是数轴)，它具有下列性质：

（1)当且仅当x=y时，ρ(x，y)=0;

（2)ρ(x，y)=ρ(y，x)(对称性)；

（3)ρ（x，y）≤ρ(x，z)+ρ(z，y)(三角形不等式).

函数ρ(x，y)，x，y∈X称为度量或距离函数，数ρ（x，y）称为点x和y的距离.

因此，集X和函数ρ两者组成度量空间，我们把它记作R=(X，ρ).

如果在（3）中令x=y，考虑到（1）和（2），那么我们得0≤ρ（y，z），亦即距离函数是其自变量的非负函数.

我们来举几个度量空间的例子.

例1n维算术空间X，它的点是矢量，即n个数的有序组，x=(x1，x2，…，xn)，显然，如果令ρ(x，y)=∑ni=1|xi-yi|212，那么它们组成一个度量空间.我们把它记作Rn:Rn=(X，ρ).

例2设Y是定义在区间［a，b］上的连续函数的集.我们引进度量，令ρ(x，y)=maxa≤i≤b|x(t)-y(t)|.

我们得到一个度量空间，把它记作C［a，b］＝（Y，ρ），同样，［a，b］上n(n≥1)次连续可微函数的集Z，如果按ρ(x，y)=max0≤i≤n max0≤i≤b|x(i)(t)-y(i)(t)|，(x(0)(t)=x(t)，y(0)(t)=y(t))，引进度量，也形成度量空间.这个空间通常记作Cn［a，b］=(Z，ρ)，n≥1.

所有适合ρ（x，a）＜r(ρ(x，a)≤r)的点x∈X的集称作空间R中中心在点a、半径是r的球Ｏ（a，r）（闭球K（a，r））.

定义2集∑糥称作在R=(X，ρ)中的开集，如果它含有点x的同时也含有某个球O（x，r）.

定义3含有x的点的任何开集称为点x∈X的邻域.任何含有某个子集X的开集称作该子集的邻域（它也可能就是X本身）.点x的邻域记为∑x.

定义4设Y糥，如果点x∈X的每个邻域中至少含有一个点y且x≠y∈Y，那么点x称为集Y的极限点.

点y∈Y称为集Y的孤立点，如果存在y的一个邻域，在其中没有异于y的Y中的点.

定义5点y∈Y（Y是X的子集）称为内点，如果它有某个邻域含在Y中，把集Y在X中的补的内点称为Y的外点.如果一个点既不是Y的内点，也不是Y的外点，则它称作Y的边界点.Y的边界点的集记作筜.

定义6度量空间的集称为闭集，如果它的补是开集.

下列论断正确：任意多个开集的和，任意有限个开集的交是开集，梁蚗是开集.

任意多个闭集的交是闭集，任意有限个闭集的和是闭集，梁蚗是闭集.闭集包含它的全部极限点.

定义7所有包含集Y的闭集的交称为集Y的闭包，记作Y.

如果集C糄，那么C糄.

设R＝（X，ρ）是度量空间，Y是X的子集，度量ρ可以看作是仅仅定义在Y糥的点上.所以Y本身成为度量空间，并且R0＝（Y，ρ）称为空间R的子空间.

定义8空间R=(X，ρ)称为连通的，如果它不能表示成两个非空、不相交的闭（或开）子集之和.

如果度量空间R中的集Y作为R的子空间：（Y，ρ）迹╔，ρ），是连通的，则称Y是在R中连通的.

定义9度量空间中的点列an称为收敛于这个空间的点a，如果点a的任何邻域都含有该点列的除去有限多个点外的一切点.如果序列an收敛于a，则写作an→a(当n→∞)或limn→∞an=a.

从这个直接推知，如果an→a，那么ρ（an，a）→0（当n→∞）.

下列论断正确：点a∈R属于某个集A的闭包A，当且仅当存在集A的点到{an}收敛于a.

所以，点a∈，当且仅当点a的每个邻域∑a与A相交.

度量空间中的任何开集族，如果它们的和包含这空间中的集A，则称为集A的一个覆盖.

定义10度量空间R＝(X，ρ)称为列紧的，如果它的任何覆盖含有有限子覆盖.

把区间［0，1］看作具有通常欧几里得距离的度量空间，它就是列紧度量空间的一例.

定义11度量空间R＝（X，ρ）的元素的列{xn}称为基本列，如果当n，m→∞时（m，n是自然数），ρ(xn，xm)→0.

定义12度量空间R＝（X，ρ）称为完备的，如果在R中任何基本列都收敛于空间的某个点.

定理（球套原理）要使度量空间是完备的，必须在空间中一切半径趋于零的、且互相一个包含一个的闭球序列有非空的交.

拓扑空间.

开集和闭集.

定义1我们在集X上定义了一个拓扑空间结构，如果给定了X的子集系{∑}，它具有下列性质：

（1）集X自身及空集潦粲趝∑}；

（2）系{∑}的任意多个集的和及任意有限多个集之交属于{∑}.

满足条件（1）（2）的系{∑}称为集X上的拓扑.

因此，集X和拓扑{∑}两者组成拓扑空间，把它记作T＝(X，∑).我们来举几个拓扑空间的例子.

例1我们研究任意的度量空间R＝（X，ρ），开集满足拓扑空间的定义1中性质（1）和（2），因此，所有的度量空间R＝（X，ρ）也是拓扑空间T＝(X，∑)，这里{∑}是R中的开集系.

例2设X＝R1是实数集，取所有可能的开区间的并及空集磷魑系{∑}，那么T＝(X，∑)是拓扑空间，R1∈{∑}.

定义2集∑a糥称为T中的开集，如果∑a納∑}.

定义3任何含有x∈X的开集称x的邻域.任何含有X的某个子集（特别地，这个子集可以是X本身）的开集称为该子集（或X）的邻域.

定义4拓扑空间中的一个集称作闭集，如果它的补是开集.

我们要强调指出，度量空间理论中所有利用开集和闭集的概念而得到的事实，在拓扑空间中都正确.

【参考文献】

江泽坚.数学分析.北京：人民教育出版社，1965.