由数列递推公式求通项公式的几种方法及在高考中的应用

刘丽

【摘要】数列在高中数学学习中占有相当重要的一部分，不仅在高考中占有很大的比例，而且有些涉及数列的高考题难度也很大.其中根据数列的递推关系求数列的通项公式是很多同学学习的一个难点，也是高考中的一个考点.为了帮助大家突破这一难点，在这里对常见的由递推数列求通项的类型及方法作一归纳，并就近几年高考中涉及由数列递推公式求通项公式的题目做一介绍.

【关键词】数列；通项公式；求法；应用

数列的通项在数列中处于关键地位，知道了数列的通项，才能很好地研究数列的性质.在高考数列题中，求数列的通项有着承上启下的作用，因此求出数列的通项是决定数列这道题能否解出的关键点.下面我们来介绍由数列递推公式求数列的通项公式的常见类型.

类型1an+1=an+f(n).

解析把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.通常f(n)是一次函数、指数函数，或者说是易掌握的能够求和的类型.

例1(2011年高考四川卷理科8)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于（）.

A0

B3

C8

D11

解析选B.由已知得bn=2n-8，an+1-an=2n-8，由累加法得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=-6+（-4）+（-2）+0+2+4+6=0輆8=a1=3.

例2（2010年辽宁理数16）已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则ann的最小值为.

答案：212.

解析an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2［1+2+…+(n-1)］+33=33+n2-n，

∴ann=33n+n-1.

设f(n)=33n+n-1，令f′(n)=-33n2+1>0，

则f(n)在(33，+∞)上是单调递增，在(0，33)上是递减的.

∵n∈N+，∴当n=5或6时f(n)有最小值.

又∵a55=535，a66=636=212，

∴ann的最小值为a66=212.

类型2an+1=f(n)an.

解法把原递推公式转化为an+1an=f(n)，利用累乘法求解，其中f(n)多为分式结构.

例3（2000年全国卷）设数列{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+anan+1=0（n=1，2，3，…)，则它的通项公式是.

解析对上式因式分解，得

［(n+1)an+1-nan］(an+1+an)=0.

∴an+1an=nn+1，则

a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=12·23·34·…·n-1n=1n，

∴an=1n(n∈N+).

类型3an+1=pan+q（其中p，q均为常数，pq(p-1)≠0）.

此类数列解决的常用办法是用待定系数法将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解.设an+1+m=p(an+m)，展开整理an+1=pan+pm-m，比较系数有pm-m=b，所以m=bp-1，所以an+bp-1是等比数列，公比为p，首项为a1+bp-1.

例4（2010年上海文数21）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*.证明：{an-1}是等比数列.