对一类无理函数值域求法的选取策略

黄欣

【摘要】本文以一题四变的形式对形如y=ax+b±cx+d求值域的方法进行分析.求值域方法多种多样，对上述类型也不例外，但对于同一题目而言难易程度很不一样，比如用导数法求函数值域理论上是可以的，但有时带来不必要的繁琐.本文基于既容易且思路又比较好的观点出发给出相应的方法策略.

【关键词】无理函数；观察法；换元法；构造几何法；导数法

一、一题四变

求下列函数值域：

（1）y=x-4-15-3x；（2）y=x-4+3x+15；

（3）y=x-4+15-3x；（4）y=x-4-3x+15.

二、分类解法

（一）观察法（单调性）

如（1）y=x-4-15-3x.

解显然f(x)=x-4和g(x)=-15-3x在各自定义域上是单调增的，

∴y在4≤x≤5上是增的，∴y∈［-3，1］.

同理，对于（2）y=x-4+3x+15，易得y∈［0，+∞).

因此，对于求y=ax+b±cx+d值域，首先就是观察是否有单调性，若然就按（1）或(2)解之，快捷有效.

小结（1）和（2）类型是一次项（x）的系数同号两根式相加或系数异号两根式相减型.需要注意的是有些稍作变形就可看出单调性，如：

y=x+2-x+1分子有理化，

得y=1x+2+x+1.

函数在［-1，+∞)是递减的，∴x=-1时，ymax=1.

又y>0，

∴y∈(0，1］.上例属于（4）代表的类型，但这不是通法对于（4）式代表的类型而言.

对于（4）式y=x-4-3x+15我们用如下方法：

（二）导数法

解y′=12x-4-323x+15

=3x+15-3x-42x-4·3x+15(x≥4).

令y′>0，得x<516.

令y′<0，得x>516.

∴当x∈4，516递增，x∈516，+∞递减.

∴当x=516，ymax=-32，∴y∈［-∞，-32］.

小结（4）式类型是一次项（x）的系数同号两根式相减型.正如题头所说，不是每个题目都适合导数法或者说导数法用得很轻松，但就（4）式类型而言是相对较好的方法，理论及依据可靠，解法严密，计算起来也不繁琐.如果用换元法，一般是设x-4=a，x+5=b，则b2-a2=9，于是设b=3secθ，a=3tanθθ∈0，π2.但超过了新课标（三角函数由6个减为3个）的要求，而且即使运算也是难度非常大的.

三、结语

对于求y=ax+b±cx+d值域方法的考虑顺序，首先观察是否有单调性，再考虑是否用换元法，最后考虑用导数法，按这种方法求解函数y=ax+b±cx+d值域是行之有效快捷准确的.