一个支点撬起地球,一个超越不等式在解导数压轴题中的应用

孙长卿

近年高考或模拟考试的导数大题中，出现了一个身影，即超越不等式：

ex>x+1(x≠0).（1）

用导数工具易证此不等式如下：

证明令h(x)=ex-x-1(x≠0)，求导得h′(x)=ex-1，令h′(x)=0，得x=0.

易知当x>0时，h′(x)>0，∴在区间(0，+∞)上，h(x)是单调增函数，∴h(x)>h(0)=0，也就是ex-x-1>0，即ex>x+1.同理可证：当x<0时，ex>x+1.

综上所述，对x≠0，ex>x+1成立.

总结这类超越不等式证明的程序是：

构造函数——求导——定号定区间——判定单调性——下结论（①③稷冢.

说明其中“下结论”要依据函数单调性的定义，我们知道增减函数的定义是：①设任意x1，x2∈D罥且x1f(x2)）.③则f(x)在区间D上为增函数(减函数).据此可以得出三个命题是：

命题一：①②稷.

命题二：①③稷.

命题三：②③稷.

还可得到如下变式：e-x>1-x(x≠0).（2）

对（1）式两边取自然对数，得x>ln(x+1)(x>0).（3）

对（3）式用x-1换x，得x-1＞lnx(x＞0且x≠1).（4）

我们不难得出以上不等式中等号成立的条件.显然熟练掌握应用这些不等式对我们顺利解决有关导数大题（常为压轴题）会起到事半功倍的效果.如：

例1（2010年新课标全国卷理数22题）设函数f(x)=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f(x)的单调区间；

（2）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

【参考文献】

［1］2010普通高等学校招生全国统一考试·理科数学［J］.学子，2010，7/8.

［2］2011普通高等学校招生全国统一考试·理科数学［J］.学子，2011，7/8.