新课标下高中数学三角函数线概念教学的探索

黄瑞

数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式.章建跃博士曾经在南京师大附中演讲时说：“概念教学的核心是概括，是将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的例子为载体，引导学生展开观察、分析各事物的属性，抽象概括共同的本质属性，归纳得出数学概念.”现今新课程标准的核心理念强调为学生提供更为开阔的思维空间和发展空间，这就需要我们在教学中给予学生适度的思考时间和表现自己思维内容与思维过程的机会.在新课程实施过程中如何把握数学的概念教学，提高教学的有效性是我们每个教师都无法回避的课题.

三角函数主要内容是任意角与弧度制、三角函数定义与单位圆、三角函数图像及性质、正弦型函数及性质，等等.分析三角函数及其相关概念构成的网络体系中可知三角函数线有着重要的意义，然而教学过程中老师们感到三角函数线这一内容比较难处理.其实掌握好三角函数线的知识，可以更好地理解三角函数的知识，进一步提升学生对“函数”这一高中数学核心概念的理解与把握.

一、巧设教学情境，带出问题本质，导入三角函数线概念

借助数学史将三角函数线的概念引入，可使学生了解知识发生发展的背景和过程，引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程.合理设置情境，使学生感受到学习的乐趣，这样也能使学生加深对概念的记忆和理解.

1蓖ü数学史引入三角函数线概念

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的，因为当时人们需要穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或经水路沿着海岸线做冒险的长途航行，首先要明确方向.18世纪前，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这是三角学的古典面貌.1748年，尤拉在著名的《无穷小分析引论》一书中指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值.”即任意一个角的三角函数都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP，OM，MP(即函数线)相互之间所取的比值，sinα=MPOP，cosα=OMOP，tanα=MPOM等.若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化.尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.

2闭迁移引入三角函数线概念

同学们对于初中阶段在直角三角形中如何定义锐角三角形的正弦、余弦、正切值，记忆犹新，依据教育心理学正迁移对于学习的作用，不妨在直角坐标系中，利用单位圆先将特殊的锐角如π6，π4，π3的三角函数线画出，然后由特殊过渡到一般，从而得出任意角的三角函数线，这样同学们感到三角函数线有似曾相识的感觉，学习过程中体验如何将三角函数的“数”与“形”自然地结合在一起，达到“数”与“形”的完美结合，形成对数学美的感悟.

二、抓住三角函数线本质属性，有技巧地层层引导

1币入单位圆，构建三角函数线的舞台

对教师而言，由比值yr到y，xr到x，再到正弦线、余弦线的两步跨越，看似简单，同学们却是比较难以想到，在此处尽可能清晰再现知识的建构过程，使同学们明确原则，把握概念的形成.从数学思想层面上可以突出三角函数“简约”为“一个变量”的思想方法，进而顺利实现用“三角函数线”这一直观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线，在教学过程中反复强调“最简化”“统一”的要求，而这样的理念或思想，不仅能体现本节数学方法的特点，同时也在数学教学的过程中占据重要的地位，具有普适性.

2庇烧弦线与余弦线引导向正切线

同学们较容易理解与掌握正弦线与余弦线，是因为有直观感受，但是理解与掌握正切线有一定的难度，而突破这一难点的关键在于帮助学生充分理解“有向线段的数量”及相关概念.那么在讲一些诸如“有向线段”“有向线段的数量”等等比较数学化的很难表述的概念时，可以将同学们的注意力主要集中到关注“图形”与“数量”的对应关系上来，自然而然地突出了探究与确定“正、余弦函数线”的形成过程与基本方法，弗赖登塔尔指出，学生不是被动地接受知识，而是再创造，在这个阶段，如果可以给学生提供更为开阔一些的空间，那么到研究“正切函数线”时，学生就可以自觉或不自觉地用探究“正、余弦函数线”的方法解决新的问题.

新课标对三角函数线的要求是掌握，即对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题.三角函数线在研究三角函数图像及其性质，求解三角方程、三角不等式，证明三角恒等式、不等式，以及数形结合思想的形成方面都有重要的作用，还可以从“数”和“形”两个不同的角度研究三角函数的表示，作为工具探讨三角函数的基本性质，是三角函数这一章中非常精彩的内容.三角函数线的讲解的确有难度，但是教学过程中教师们通过充分地铺垫，同学们对三角函数线的掌握完全可以实现水到渠成.