独立学院微积分教学中对微分中值定理的讨论

樊艮

【摘要】在微积分中，微分中值定理是学好导数应用的基础，因而其教学也显得尤为关键.探讨微分中值定理及其相关内容的教学以及怎样构造辅助函数去解决问题，历来是独立学院师生所关注的热点课题之一.

【关键词】中值定理；教学；辅助函数；独立学院

罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理.它们是沟通函数及其导数之间的桥梁，是研究函数性态的有力工具.微分中值定理对于独立学院学《微积分》这门专业课来说是一个比较重要但又不容易掌握的章节.很多老师讲解完这节课后学生仍然不会解题，这其中一个重要原因就是在教学过程中老师只注重传授给学生中值定理的内容而忽略过程的分析，大多数教师遵循传统的教学方法已经形成一种思维定式：教学生解题时总是习惯从已知条件推导待求结论.显然这种单一思维方式已经不适用于现在微积分特别是独立学院的学生的学习，原因有两点：一是本节课理论性强，二是学生基础相对薄弱.如何让学生更好地掌握微积分中微分中值定理并有效运用，我们针对教学中遇到的一些普遍现象经过研究摸索得到一些体会，与大家共同探讨.

一、微分中值定理的内容

1甭薅（Rolle）中值定理

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ

2崩格朗日（Lagrange）中值定理

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ

3笨挛髦兄刀ɡ

如果函数f(x)及F(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且F′(x)在(a，b)内每一点处均不为零，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ

二、微分中值定理之间的关系

1甭薅中值定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广（即在拉格朗日中值定理中，若f(a)=f(b)，可推出罗尔中值定理）.

2崩格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广（即在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，就可推出拉格朗日中值定理）.

三者的关系可表示为：

柯西中值定理g(x)=x拉格朗日中值定理f(a)=f(b)罗尔中值定理.

三、教学体会

1惫乖旄ㄖ函数采用启发性教学

由于本节三个定理教材已经给出了详细的证明过程，因此教师在讲解过程中就不能照本宣科，而应启发学生发掘证明过程背后的实质.例如：用罗尔中值定理去证明拉格朗日中值定理，为什么要构造辅助函数？辅助函数是怎样构造出来的？又是怎么想到用罗尔中值定理来证明该定理的？针对这样的疑问教师可以采用以下顺序来引导启发学生.首先，让学生比较该定理与罗尔中值定理在内容上的异同，特别是结论上的区别.罗尔中值定理结论是“至少存在一点ξ(a<ξ

在分析讲解的过程中若能充分调动学生的主动性，不仅可以锻炼他们的逻辑思维能力，更能增强他们解决问题的信心，在教学过程中起到事半功倍的效果.

2苯萄顺序

教学目标的实现，体现在教学内容的具体安排上，即先教什么，后教什么.一堂课的学习内容必须划分成若干个可操作的阶段.根据教育学家加涅对教学目标的分类，“微分中值定理”是一堂智力技能学习课，它有很强的理论性和操作性.在具体实施教学过程中，宏观上把整堂课按Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理划分三个阶段，由浅到难，逐步加深.Cauchy中值定理留给学生自学，以培养学生的自学能力和学习迁移能力.在第一阶段我们把学习的起点确定在已有的导数概念和导数的几何意义上，在第二阶段则把学习的起点确定在前面的定理基础上，而每个定理的学习又分为几个阶段，并且有相似的教学组织形式、教学方法等教学策略.以Lagrange中值定理为例，教学过程分为学生讨论阶段、教师引导阶段和应用举例阶段.这三个阶段所完成的主要任务分别是:探索归纳、形成定理、应用形成技能.