例谈高中数学解题思想

竹林烽

在很多课堂教学中，老师和学生往往注重解题技巧或者解题方法的讲解和掌握，而忽略了对教材的精研细究，往往导致事倍功半。对一些数学思想的重视不够，也成为了学生在高考中失分的一大隐忧，数学思想方法的掌握和正确运用，对解题往往起着事半功倍的效果。

一、分类讨论思想

分类是以比较为基础的，它能揭示数学之间的规律。根据数学本质属性的异同，将数学对象区分为不同种类的思想方法，为分类思想，它是近代、现代数学中的一种重要的思想方法。在教学中，应教给学生分类思想，培养辨证思维，引导他们由形象分类进入本质分类，使所学知识系统化、条理化，形成一个完整的知识网络。数学问题的论域往往表现为一个大集合一全集。分类就是将大集合分为一些小集合，每个小集合叫一个类，这里面还必须讲清楚科学分类不准重复、不准遗漏的要求及分类要选取一定的标准，不同的标准产生了不同的分类。在教学中我们要有意识的灌输分类的思想。如讲函数的性质时，我们是以函数的奇偶性为标准把函数全体分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数和既奇又偶函数四大类，又以周期性为标准把它们分为周期函数和非周期函数两大类的。显然，分类的作用就是化整为零，分而治之，各个击破。下面通过两个例题探讨一下：

例1：确定的m值，x2

解：底数m，需分类讨论

（1）若m＞1，在同一直角坐标系内作y＝x2和y=logmx的图象，如图，从图上看出，在（0，）内， y＝x2的图象在y=logmx的上面，所以x2

（2）若0

二、函数与方程思想

许多数量关系，都可以用思想予以认识，如加法运算，被加数和加数的改变，会引起和的变动，因此和就是加数和被加数的函数。同样地，对于减、乘、除、乘方、开方等运算都可以获得相应的结论。在代数中将代表“数”的文字“变动”，就可以看作“变量”，其关系式就是一个函数。函数思想是指函数的意义，函数的定义域、值域和函数性质及函数极值等。在这种思想指导下，可使许多数学问题的处理达到统一。

例2：半圆的直径AB长为2r，半圆外的直线L与BA的延长线垂直，垂足为T，|AT|=2a(2a<)，半圆上有相异两点|AT|=2a(2a<)，半圆上有相异两点M、N，他们与直线L的距离|MP|、|NQ| 满足==1， 求证|AM|+|AN|=|AB|。

这是一道全国数学联赛题，采用函数思想，代数解法比原来给出的几何方法证明的标准答案更加简洁。

证明：如图，MC⊥AB，垂足为 C，在 Rt△AMB中，有射影定理AM2=AC譇B。设|AM|=X，则|AC|=X-2a，则X2=(X-2a)?r是方程X2-2rX+4ar=0的一个根，同理|AN|也是方程X2-2rX+4ar=0的一个根，由韦达定理x1+x2=2r，∴|AM|+|AN|=|AB|。

三、转化与化归思想

面对一个数学问题，一般地是由未知向已知转化；由复杂向简单转化，也可不同数学问题之间相互转化，目的就是将问题的条件转化为问题的结论。转化思想就是使一种研究对象在一定条件转化为另一种研究对象的方法，她是解决数学问题的一种重要思维方法，要顺利实现转化，就离不开对基本技能的熟练掌握。

例3：如图，圆O的半径为5，弦AB所对的圆心角为 ，动点C在优弧AB上，以C为圆心，作一圆与AB相切，设圆C的半径为 X。求△ ABC没有被圆C覆盖部分的面积的极大值并问此面积极大时X的值。

分析：将阴影部分面积用X的代数式表示，把问题转化成二次函数求解，就比单纯用平面几何方法简单。

解：∠AOB=60O，OA=OB=5则AB=5S△ABC=?x=，又S扇形CDE==，则S阴影=S△ABC-S扇形CDE=+

∴当x=时，(S阴影)max=

四、数形结合思想

“数缺形时少直观，形少数时难入微”（华罗庚语）有些数量关系，借助于形，可使抽象概念直观化，复杂关系简单化，隐晦条件明朗化。而数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，数形结合思想方法当然地成为研究数学的重要方法，而为广大师生乐于采用。

以上四类思想方法之间是互相渗透的，并有机的结合起来，除以上讲到的一些数学思想外，还有许多，如逻辑规则，化归思想等，都是人类在数学领域中长期社会实践中总结的。这些思想在推动数学发展方面显示了强有力的作用。数学思想是数学的灵魂，思想和方法是数学的重要基础知识，也是学好数学的重要武器。只有在教学中不断的展示思维的过程，才能把学生教活，在学生身上产生自求发展机制，只有强化思维的自求意识，才能在解决实际问题中表现的机智灵活，产生四通八达的思维境界。因此，我们只有让数学思想、方法闪现在教学过程的始终，才能使我们的教学充满活力。

（责任编辑 刘 红）