刍谈“错解”中合理成分的有效利用

董耀杨

在教学过程中会发现学生有许多“异想天开”的解题方法，犯一些“显而易见”的错误。我们的一贯做法是对其讲解正确的解题方法，而没有具体分析哪些是错的，哪些是正确的，甚至对学生的“错误解法”全盘否定。事实上，学生的“错解”也有许多合理的成分，这些合理成分的利用可带给我们意想不到的收获。下面从三个方面谈谈笔者对“‘错解中合理成分的有效利用”的认识。

一、挖掘“错解”中合理成分，使作解者能得到同伴的赏识，从而增强其学习数学的信心

学生学习的成就感、自豪感，不仅是产生学习兴趣和动力的根本源泉，而且是培养学生自尊、自信人格的重要途径，同伴间的鼓励与赏识显得尤为珍贵，这对于激发学生学习兴趣和保持学习热情具有极其重要的作用。

例1：点(-1，2)关于直线y=x-l的对称点坐标是()

A．（3，2） B．（-3，-2） C．（-3，2） D．（3，-2）

这是一个非常基础、简单的题目。常规方法是用“中垂线的性质”解决，答案是D。而在一次会考补弱课结束后，一位基础较薄弱的学生对我讲述了他的解法：把点(-1，2)中的“x=-1”代入“y= x-1”得：“y= -2”，“y=2”代入“y=x-l”得：“x=3”，所以选D。我一时不理解这是怎么回事，问他这样解的依据是什么？他说不知道理由，反正答案是对的。粗看他的解题过程，可以发现，“对称”的条件在他的解法中是毫无体现的，得出正确结论纯属是一种偶然。正因如此，他才会向我询问，也希望我能帮他从中找到“正确”的理由。一般我们都会以“你错了，你的解法同题目要求不符”来结束思考，然后给他正解。但是，他的一句“反正答案是对的”提醒了我：既然答案是正确的，是否有其内在的合理性？便尝试着与他一起进行探究，此时我想到了一个相似的问题：若把题目改成“求点(-1，2)关于直线y=x的对称点”这一特殊的对称问题，通常用“反函数的性质”，只要把点（-1，2）的横坐标与纵坐标对调就可以了，所求的对称点为(2，-1)。我们能否对此“简便方法”加以推广呢？这个方法也可以这样解释：把“x =-1”代入“y=x”得：“y= -1”，“y=2”代入“y=x”得：“x=2”，这样求得的对称点坐标为(2，-1)。这样的解释刚好与这位同学的解法不谋而合。此时，我们都得到了莫大的鼓舞，这个“理由”似乎已经被找到。我继续变式：

(1)点(-1，2)关于直线y=-x+l的对称点是_________；

(2)点(-1，2)关于直线y=2x+l的对称点是_________。

通过对称问题的常规方法检验，发现变式(1)还是能适用的，但变式(2)就不适用了。这说明刚才的这种“特殊方法”仅适合于某些对称轴方程比较特殊的题目。这又是一个新问题：“点P( ， )关于直线y=kx+b的对称点坐标是_______”。根据上面的“特殊方法”得出的结果是“( (y0-b)/k，kx 0+b)”，而用对称问题的常规方法，设对称点为Q( ， )，得出的结论：只有当k=?时，x1=?y0-b)， y1=眡0+b，与“特殊方法”求得的结论一致。此时，我也看到了这位学生脸上得意的神色。正因为有了他的“异想天开”，才有我们进一步的思考，得到出入意料的推广。在随后的课堂中，我在全班同学面前大力赞赏了他的这种“简便方法”，以及他的这种创新意识和敏锐的观察能力，赢得了全班同学的赞许。在此后的学习中，这位同学学习数学一直都保持着很高的热情。

二、挖掘“错解”中合理成分，让多数学生体会到自身的价值，从而鼓励学生质疑

“问”是新旧知识产生碰撞后进行思维、想象的结果；是对所学知识的综合分析，也是对新知识的渴求。同时，“问”也是思维活跃程度的一种反映，能对所学知识产生疑问，也是学习能力的一种表现。爱因斯坦曾经说过：在科学研究中，提出问题要比解决问题难得多，意义也大得多。因此，鼓励学生敢问、会问、善问，从而使他们有兴趣去学习，作为教师，我们责无旁贷。

例2：已知lim(2an+3bn)=5，lim(an-bn)，求lim(an-bn)。

在讲解此题时，我先让学生自己求解，多数学生的解法与下面的解法大同小异，

解：∵

∴

解得：

∴lim(an+bn)=liman+limbn=+=

对这样的解法，我早已有了心理准备，便结合极限的运算法则指出：liman和limbn一定存在吗？这时，部分学生若有所悟，但还是有不少学生一脸茫然。前者虽然感到解法有些不合情理，但还是不明白，当liman和limbn不存在时，为什么lim(2an+3bn)和lim(an-bn)会存在？针对学生的这些困惑，我举了反例：an=1-n2，bn=1+n2，显然liman和limbn 都不存在，但lim(2an+3bn)=5，存在！此时，多数学生都默认了我的观点，明白了自己的“错误”。随后我又指出：由题设我们不能判断liman和limbn是否存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的，关于这类问题，我们一般通过“待定系数法”求解。

解：设an+bn=x(2an+3bn)+y(an-bn)，

则(2xy-1)an+(3x-y-1)bn=0

，解得

∴lim(an+bn)=lim[(2an+3bn)+(an-bn)]

=lim(2an+3bn)+lim(an-bn)

=?+?=

虽然，这样的讲解既充分暴露了学生存在的问题，又巩固了数列极限的运算法则。但我还是在心里嘀咕：学生的“错解”与“正解”结果是一致的，这里面总隐含着某种说不清、道不明的瓜葛。当时，为了完成教学任务，也没来得及去探究更深一层的联系。当然，由于对这种问题自己心中也没底，担心会发展到难以控制的局面。课后，我担心的事终究还是发生了，一位学生到办公室对我说：老师，你上课举的反例不成立！那个反例只满足了一个条件lim(2an+3bn)=5，但不满足另一个条件lim(an-bn)=2。所以，我们的解法是对的。我不得不承认，我举的反例的确不恰当，同时，我更佩服这位同学的一种永不服输的精神（虽然他说的“正确性”还得不到保障）。当然，我也不甘示弱，原来的反例不行，不就可以换一个吗？在做了一些努力后，还是以失败而告终。虽然找不到反例，但还得对“liman和limbn 不一定存在”有个交代呀！最后问题还是转向了利用“待定系数法”，取得了成功。由an=(2an+3bn)+(an-bn)，bn=(2an+3bn)可知，lima和limb是都存在的！因此草率地讲“liman和limbn不一定存在”是不负责任的。所以，在课堂上，学生中出现的“错解”实际上也是有一定的立足之处的，只不过在逻辑上少了一个步骤，即检验“liman和limbn”的存在性。有了这个基础，我与这位同学一起优化了解法，利用“换元法”更易说明问题：

另解：设An=2an+3bn，Bn=an-bn，则limAn，limBn=2，

且an=An+Bn，bn=An-Bn

∴lim(an+bn)=lim(An+Bn)

=limAn+limBn

=?+?=

存在的，就有其合理的原因。我们许多教师都长期坚持着类似于“liman和limbn 不一定存在”这样的“信念”，却很少有人去进一步弄清这种“不一定”中的“确定性”。这除了有知识、逻辑的因素外，对多数人来说，恐怕还有一个“人云亦云”、迷信权威、迷信刊物的思维定势。其实，充分挖掘学生错解中的合理成份，就是对学生劳动成果的充分肯定和人格的尊重，这种在教学过程中常常被多数教师所忽视的情感交流，与不分青红皂白地对学生一顿训斥更形成了强烈的反差。实践告诉我们，这种忽视和训斥往往会影响纠错教学的效果和学生学习数学的兴趣和热情。

三、挖掘“错解”中合理成分，暴露矛盾，从而引发当事者的自我反省

从心理学的角度来分析，正常情况下，学生的心理处于一种平衡的状态。当学生与周围环境进行交互作用时，就会出现各种各样的问题、困难以及相互之间的认识差异，也就是认知冲突；当人心里失去平衡时，本能地会产生一种需要平衡的需求，从学习的意义上讲，就会产生新的学习需要，通过进一步的学习建立心理平衡。由此可见在数学课堂教学中，教师要善于创设问题情境，使学生产生认知冲突，提高学生学习的内需，从而提高课堂教学的有效性。

例3：已知a<0，解关x的不等式：>a+。

这是某市高三模考试题中解答题的第一题，许多学生的解法是：

解：∵a<0，∴a+≤-2，当且仅当a=1时取等号，

∴>-2，即>0，∴原不等式的解集为：{x|x>0}

这样的解法，显然混淆了“解不等式”与“不等式恒成立”问题，违背了解不等式的“等价变形”原则。

正解：原不等式→（x-a） >0

当a=即a=-1时，不等式的解集为{x|x>0}

当a>即-10}

当a<即a<-1时，不等式的解集为{x|a0}

但我们并不能在“正解”完成的同时，结束讲解。“没有功劳，亦有苦劳”，学生去做，虽然错了，但至少还能说明他们去尝试过、努力过。如果遇到错解，就对他们进行全盘否定，久而久之，必然会使他们失去解题的信心。那么，我们拿什么去“肯定”和“褒奖”他们呢？挖掘“错解”中的合理成份！通过正误对比，仔细分析“错解”产生的原因与“错解”的结果，不难发现：

(1)能看到“a+”这一结构，联想到均值定理的应用。

(2)“正解”讨论了“a<0”的所有可能的值，而“错解”只解决了“a=-1”时的情形，但也解出了这个不等式的一小部分。

(3)将问题改为“不等式：>a+对一切a<0恒成立，求x的范围”，则这一解法是完全正确了。

在纠错的过程中，正面指出错误的地方，具体分析错误的性质，是错题分析的一个重要环节。而通过以上(2)、(3)两点的正误对比，使学生产生认知冲突，这不仅可以使学生对自己“错解”有一个全面的认识，而且“有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行元认知调控”，从而增强此类问题防错的免疫力。

人们常说：治病不如防病。只有让学生亲身经历知识的发生、发展和形成过程，才能激发学生的学习热情和学习兴趣，满足学生的猎奇心理和求知欲望，遵循学生的认知规律，深化学生对知识的认识和理解，才能防止学生对知识理解掌握得支离破碎。根据心理学理论，当学生平时接受的正面信息越多，学生的创新思维就越容易发挥，反之，就越会扼杀学生的创新意识。在学生出现“错解”时，我们不应该一味地否定和指责学生，而应首先在“错解”中去寻找、挖掘其合理成分，去肯定学生，给学生多一份肯定，学生就多一份成就感，多一份自信。

教师要寻求防止错误发生的有效对策，就要利用好错解中的合理成分，这就要求教师经常思考学生产生错误的原因。在“错解”中欣赏优点，这也是教师自身成长的一次机会。在师生互动纠错的过程中，不仅教师帮学生增长了知识和提高能力，而且学生也会使教师的知识和能力得到提高。

（责任编辑 易 凡）