一元二次方程求根公式的推导及其教育价值

王子霞

在新课程教学中，教师必须改变那种完全依赖教材、照本宣科式的教学方法，变为引导学生创造性地“学”. 教师创造性地“教”应充分体现在精心设计教学过程上，教学过程的精心设计是以对课标和教材的深入研究为前提的，它凝聚着教师的数学理解、数学感知、数学思考和数学加工. 对课标和教材研究得越深，设计出来的教学过程就越能取得良好的教学效果.

就一元二次方程求根公式的内容来说，一些教师往往只停留在对教材表面的理解和是否成为考点上，重视的是公式的运用，忽视公式的推导和公式的教育价值. 《数学课程标准》明确规定，要理解配方法，掌握一元二次方程求根公式的推导. 为什么提出这样的要求，教师需要研究和思考.

一、推导一元二次方程求根公式的必要性

因为所有的一元二次方程都可以用配方法求解，所以这是一个通法，有规律可循. 如果我们不抽象、概括出一个数学模型，那么每次都要做重复性的工作. 抽象、概括正是数学学习留给学生的数学思维品质和方法.

二、推导求根公式的教育价值是突出的

１． 在思想方法上，求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开平方的形式，推导过程中还涉及分类讨论的思想. 数学思想方法凝聚着数学的精髓和灵魂，尽管学生走上社会后，数学知识似乎渐渐淡忘了，但留存的应是那种铭刻在心头的数学思想、数学思维方式.

２． 在解法上是多样的． 对于一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ 0（ａ ≠ ０）的求根公式的推导，人教版教材采用了二次项系数化为１再配方的方法.

因为ａ ≠ ０，所以可以把方程的两边都除以二次项系数ａ，

得ｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ ＝ ０，移项，得ｘ２ ＋ ■ｘ ＝ －■，

配方，得x2 + ■x + （■）2 = -■ + （■）2，

即（x + ■）2 = ■.∵ a ≠0，∴ 4a2 > 0.

当ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０时，得

ｘ ＋ ■ ＝ ±■， ①

即x + ■ = ±■， ②

∴ x = -■±■，即x = ■．

首先领会教材的编写意图，将二次项系数化为１，学生容易想到，而且易于配方.再深入分析可知，系数化为１后，易于发现a，b，c不是独立的变量. 再进行难点分析，公式推导过程中有两个难点：难点１是对b2 - 4ac非负的认识，需要分类；难点２是由①到②，化简■ = 2|a|出现“±”号问题. 难点１是不可回避的，突破难点的关键是对用字母表示数的理解，而对于难点２ ，也是不可回避的吗？这个问题值得我们深入思考.

思考１ 难点２ 是化简二次根式产生的，于是我们想到能否使得开方后等号的右边是最简二次根式. 事实上，当b2 - 4ac ≥ 0时，b2 - 4ac = （■）2，于是（x + ■）2 = ■ = ■ = （■）2，从而x + ■ = ±■. 这样就达到了回避难点２的目的. 这个方法很巧妙，但我们在逆用二次根式性质（■）2 ＝ ａ（ａ ≥ ０）的同时，也会给一部分学生带来困难，因而我们又有了新的思考.

思考２ 难点２是化简分母■产生的，而字母a是由于配方产生的，那么能否设法在配方时不出现字母呢？这是一个很好的创意，于是想到了要使二次项系数变为ａ２．

因为ａ ≠ ０，方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）两边同乘以a，得a2x2 + abx + ac = 0，

配方，得ａ２ｘ２ ＋ ａｂｘ ＋ （■）２ ＝ （■）２ － ａｃ，

即（ａｘ ＋ ■）2 = ■.

当b2 - 4ac ≥ 0时，有ax + ■ = ■，

∴ ax =■. ∵ ａ ≠ ０，∴ x =■.

思考３ 欣赏之余，再认真审视一下解题过程，这个解法似乎并不完美，配方时出现了分数，因而再次产生了改进的念头，于是又有了下面漂亮的解法：

对于ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ｃ ＝ ０（ａ≠０），

∵ ａ ≠ ０，方程两边同乘以４ａ，得４ａ２ｘ２ ＋ ４ａｂｘ ＋ ４ａｃ ＝ ０，

配方，得（４ａ２ｘ２ ＋ ４ａｂｘ ＋ ｂ２） － ｂ２ ＋ ４ａｃ ＝ ０，

即（２ａｘ ＋ ｂ）２ ＝ ｂ２ － ４ａｃ，

……

比较上述解法，思考３的解法明显优于其他方法. 它的优点在于解法简洁，并且揭示了判别式是一个完全平方式. 上述三种思考解法的独创性正是数学学科所要培养的学生的创造性思维，只有创造型的教师才能培养出创造型的学生！

三、公式自身的教育价值是多重的

１． 从运算的角度看，公式包容了初中阶段所学过的全部六种代数运算：加、减、乘、除、乘方、开方，体现了公式的和谐统一. 各级运算的顺序自动决定了一元二次方程的解题顺序. 开平方运算不是总能进行的，要根据判别式Δ = b2 - 4ac的符号来判断方程是否有实数根，如果有实数根，则由其三个系数来确定. 通过运算可以完美地解决根的存在性、根的个数、根的求法三个问题，可以说是“万能”求根公式. 它向我们展示了抽象性、一般性和简洁性等数学的美和魅力.

２． 从方程的观点来看，当公式中的三个量为常数时，则它是关于第四个量的方程. 比如a，b，c为确定的数值时，它便是关于x的方程. 当a，b，c，x中不只有一个变量时，若视其中一个字母为变量，其余的为常数，则它是关于这个变量的一元方程；若视其中两个字母为变量，其余的为常数，则它是关于这两个变量的二元方程.

３． 从基本量的观点来看，公式中有四个基本量，只要知道其中三个，就可以求出另外一个． 公式可变形为ｘ ＝ ■. 可见公式中只有三个独立的基本量x，■，■，因此知二可求一，这就是为什么利用两根之和、两根之积可求方程的根的原因.

总之，深入钻研课标和教材，充分挖掘教材所蕴含的具有创新教育的内容，对教材内容做进一步地研究和推广，并提出异于教材中的处理方法，是教师提高自身素质和不断提高创造性教学能力，合理选择猜想、讨论、变式推广、多角度思考、批判反思等方法进行创新教育的有效途径.