如何列方程解应用题

綦冬娟

方程是代数学的核心内容，一元一次方程是最简单的代数方程，也是初中数学一个重、难点内容. 用列方程法解应用题一直是教师和学生都感到头疼的内容. 教师要引导学生把实际问题转化为数学问题来讲解，把学生小学时的算术思维转移到代数思维上来，根据实际问题的设置，建立适当的一元一次方程模型去解决，这样才能取得事半功倍的效果. 我们学习数学，就是为了解决实际问题，这也是学习数学的出发点和归宿. 因此，在实际的课堂教学中，教师应该把课堂教学内容与现实生产实践有机结合起来，教给学生利用所学的数学知识分析和解决实际问题. 那么，一元一次方程又能解决什么样的实际问题呢？

一、列一元一次方程解应用题的优点

数学重在培养学生的逻辑思维能力. 初中数学与小学数学最大的区别，就是要把学生的算术法解题思维转变为代数法解题思维方式，让学生有意识地、习惯地自觉运用代数法列方程解应用题. 在这个阶段，可能会有很多同学不适应，因为小学阶段，学生已习惯了用算术法解应用题，代数解法对他们来讲还是新生事物. 人们总是对新生事物有畏惧感，因此在实际的教学经历中要通过讲解例题，最好是分别用算术法和代数法解答，经过实际的比较，让同学们认识到列方程的代数解法比算术法有优越性. 经过多次的实际练习，培养学生的代数思维方式，并逐步适应、掌握代数解法. 如以下试题：

例１ 甲乘汽车从Ａ地到Ｂ地去，两地相距１７０千米，先是以每小时２０千米的速度从Ａ地驶向Ｂ地，４小时后，该汽车改用每小时３０千米的速度行驶，问：他从Ａ地到Ｂ地共需多少小时？

解法一（用算术法解）：

通过对题目的分析，我们知道，已知汽车已行驶４小时的速度是每小时2０千米，那么我们可以求出已行驶的路程，即４ × ２０ ＝ ８０（千米）.又已知Ａ到Ｂ相距１７０千米和现已行驶了８０千米，则还要行驶的路程是１７０ － ８０ ＝ ９０（千米）.４小时后，汽车的时速改为3０千米／小时，则剩下的路程所需的时间是９０ ÷ ３０ ＝ ３（小时）. 那么，他从Ａ到Ｂ地所需的时间是４ ＋ ３ ＝ ７（小时）. 如果要列综合式，即（１７０ － ４ × ２０） ÷ ３０ ＋ ４ ＝ ７（小时）.

解法二 （用列方程解）如下：

用列方程法解答，首先要找出题中的等量关系，即已行驶路程＋将行路程＝全程，由此可列出方程. 设他乘汽车从Ａ地到Ｂ地共需ｘ小时，则可得出汽车还要行驶（ｘ － ４）小时，那么根据题目中的等量关系式，可列方程４ × ２０ ＋ （ｘ － ４） × ３０ ＝ １７０，解方程，可得ｘ ＝ ７，所以他从Ａ地到Ｂ地共需７小时.

从这道例题的两种解答中可以清晰地看到，算术法费时、费力，步骤又繁琐，稍不留意就可能出错，而利用题中的等量关系列一元一次方程，则思路清晰，简洁省事得多. 这就是列方程解应用题比用算术方法解应用题优越的地方.

二、培养学生找“相等关系”的能力

列方程解应用题重要的一步是列方程，而列方程最重要的是分析题目和已知条件，先设出未知量，把未知量当成已知量参与运算，从中找出相等关系，进而列方程. 我们常见的这类问题有行程问题、浓度问题、工程问题、增长率问题、税率问题、等积问题等. 在具体的应用过程中，我们首先要分清题目属于哪个类型，然后分析已知条件和未知条件，最后找出未知条件和已知条件的等量关系. 这类问题可以利用公式或不变量找出相等关系.

初中阶段的数学应用题，经常见到的等量关系式有：（１）行程问题：路程 ＝ 时间 × 速度；（２）浓度问题：溶质 ＝ 溶液 × 浓度；（３）工程问题：工作总量 ＝ 工作时间 × 工作效率；（４）增长率问题：增产量 ＝ 原产量 × 增长率；（５）税率问题：税后利息 ＝ 本金 × 存期 × 利率 × （１ － 利息税）；（６）等积变形问题：变形前的体积＝变形后的体积. 让同学们了解常见的等量关系式，他们在具体的应用题解答过程中就会变得得心应手. 例如如下例题：

例２ 甲、乙两班共９０人，期中考试后，由甲班转入乙班４人，这时甲班人数是乙班人数的８０％，问：期中考试前两班各有多少人？

分析 由已知甲、乙两班共９０人，我们可以设甲班是ｘ人，那么乙班是（９０ － ｘ）人，根据题意，如果甲班人转入乙班４人，则甲班人数是乙班人数的８０％，此时甲班人数为ｘ － ４，乙班为９０ － ｘ ＋ ４ ＝ （９４ － ｘ）人，根据等量关系，可列方程如下：ｘ － ４ ＝ （９４ － ｘ）·８０％，解方程可得ｘ ＝ ４４，即甲班人数为４４人，乙班人数为４６人.

从这道题，我们很清晰地看出，解题的关键就是找出相等关系，如果甲班人数向乙班转４人，则此时甲班人数是乙班人数的８０％. 在课堂教学中，教师要教给学生如何快速而有效地找出题目中的相等关系，并提高根据相等关系列方程的能力.

三、列一元一次方程解应用题的一般步骤

列一元一次方程解应用题的步骤比较固定，一般有这样几个步骤：设，列，解，检，答. 设，就是设未知数，即用一个字母表示题目中所要求得的那个未知数. 这个未知数一般用字母ｘ来表示（这个未知量一般要有单位），在实际列等式或者是运算时，则把它当成一个常数参与运算. 列，就是列方程，即根据题意，找出题目中的等量关系列方程. 解，就是解方程，得出答案. 检，就是检查解得的方程答案是不是正确，这是要注意的事，应用题的答案要符合实际情况，不能违背常理. 答，就是写出正确答案.

总之，列一元一次方程解答应用题是初中阶段数学学习的重点，是中学生由算术思维到代数思维的一次重要的转变. 积极地探索和思考，综合运用数学基础知识和基本技能，用列方程解决实际生活和生产实际中的各种问题，正是我们学习数学的意义.

【参考文献】

［１］章晓敏．列一元一次方程解应用题教学的几点思考［Ｊ］．科技信息，２０１１（１１）．

［２］练爱群，唐志祥．浅谈一元一次方程与问题解决［Ｊ］． 科技信息， ２００９（１３）．