如何有效利用中考题

申华娟

近几年中考的数学压轴题题型多、题意创新，总体来说，大都呈现“起点低、坡度缓、尾巴略翘”的趋势，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力．因此，教师平时在综合题的教学中，须和学生一起分析压轴题的结构及所考查的知识点．通过教师的解析和点评，引导学生探索各种题型的解题规律，准确把握解题思路、方法和技巧，以减轻学生解压轴题的心理压力．下面以２０１０年浙江台州市中考数学压轴题为例，谈谈中考数学压轴题的教学设计．

（２０１０ 浙江台州市）如图1，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８．点Ｐ，Ｑ都是斜边ＡＢ上的动点，点Ｐ从Ｂ 向Ａ运动（不与点Ｂ重合），点Ｑ从Ａ向Ｂ运动，ＢＰ ＝ ＡＱ．点Ｄ，Ｅ分别是点Ａ，Ｂ以Ｑ，Ｐ为对称中心的对称点，ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于点Ｈ． 当点Ｅ到达顶点Ａ时，Ｐ，Ｑ同时停止运动．设ＢＰ的长为ｘ，△ＨＤＥ的面积为ｙ．

（１）求证：△ＤＨＱ∽△ＡＢＣ；

（２）求ｙ关于ｘ的函数解析式，并求ｙ的最大值；

（３）当ｘ为何值时，△ＨＤＥ为等腰三角形？

分析 第（１）问是基础题，求两个三角形相似，起点低，绝大部分学生能比较轻松地给予解答. 根据Ａ，Ｄ关于点Ｑ成中心对称，可证∠HDQ = ∠A，即可得出结论．

第（２）问难度不大，自然想到用面积公式表示△ＨＤＥ的面积，利用第（１）小题的结论，列出比例式，寻求ＨＱ与ＤＱ的关系，从而建立ｙ与ｘ的函数解析式. 通过学生操作活动，自剪纸片，按照题意折叠纸片，容易发现：随着动点Ｐ，Ｑ的运动，ｘ随之变化，点Ｄ，Ｅ的位置也会变化，因此必须分类讨论．

第（３）问有一定的难度，根据第（２）问的分析，很容易想到要根据ｘ的取值范围进行分类讨论. △ＨＤＥ为等腰三角形，没有说明哪条边是腰，哪条边是底边，因此还要根据等腰三角形的腰和底边分类讨论，须防止漏解．

简解

（１） ∵ Ａ，Ｄ关于点Ｑ成中心对称，ＨＱ⊥ＡＢ，

∴ ∠HQD = ∠C ＝ ９０°，ＨＤ ＝ ＨＡ，∴∠HDQ = ∠A，

∴ △ＤＨＱ∽△ＡＢＣ．

（２）①如图2，当0 < x ≤ 2.5时，

ＥＤ ＝ １０ － ４ｘ，ＱＨ ＝ ＡＱ ｔａｎ Ａ ＝ ■ｘ，

此时ｙ ＝ ■（１０ － ４ｘ） × ■x = -■x2 + ■x ．

当x = ■时，最大值y = ■．

②如图3，当2.5< x ≤ 5时，

ＥＤ ＝ ４ｘ － １０，ＱＨ ＝ ＡＱ ｔａｎ∠Ａ ＝ ■ｘ，

此时ｙ ＝ ■（４x － １０） × ■x = ■x2 - ■x．

当x = 5时，最大值y = ■．

∴ ｙ与ｘ之间的函数解析式为

ｙ ＝ －■ｘ２ ＋ ■ｘ（０ ＜ ｘ ≤ ２．５），■ｘ２ － ■ｘ（２．５ ＜ ｘ ≤ ５）．

ｙ的最大值是■．

（３）①如图2，当0 < x ≤ ２．５时，

若ＤＥ ＝ ＤＨ，∵ ＤＨ ＝ ＡＨ ＝ ■ = ■x，ＤＥ ＝ 10 - 4x，

∴ 10 - 4x ＝ ■x，x = ■．

显然ＥＤ ＝ ＥＨ，ＨＤ ＝ ＨＥ不可能；

②如图3，当２．５ ＜ ｘ ≤ ５时，

若ＤＥ ＝ ＤＨ，4x - 10 ＝ ■x，x = ■；

若ＨＤ ＝ ＨＥ，此时点Ｄ，Ｅ分别与点Ｂ，Ａ重合，x = 5；

若ＥＤ ＝ ＥＨ，则△ＥＤＨ∽△ＨＤＡ，

∴ ■ = ■，■ = ■，ｘ = ■．

∴当ｘ的值为■，■，５，■时，△ＨＤＥ是等腰三角形．

点评 本题集方程、函数、几何证明于一身，有计算、有证明，具有较强的综合性．可见，本例题的重点知识点是：（１）勾股定理；（２）三角形面积公式；（３）等腰三角形性质定理；（４）三角函数概念或相似三角形性质定理；（５）二次函数表达式及用配方法或公式法求二次函数的最值．本题贯彻的数学思想是：（１）运动观点；（２）方程思想；（３）数形结合思想；（４）分类思想；（５）转化思想．

另外，分类讨论时要做到既不重复又不遗漏，等腰三角形常以腰和底边为分类标准．动点的讨论，常以运动过程中的特殊位置为分界点．

拓展 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８． 点Ｑ是斜边ＡＢ上的动点，点Ｑ从Ａ向Ｂ运动，点Ｄ是点Ａ以Ｑ为对称中心的对称点， ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于点Ｈ．当△ＨＤＣ是直角三角形时，求ＡＱ的长度．

学生讨论后教师点拨：△ＨＤＣ是直角三角形，要抓住直角顶点进行讨论：当∠ＤＣＨ ＝ ９０°时，点Ｄ与点Ｂ重合，此时点Ｑ为ＡＢ的中点，ＡＱ＝５；当∠ＣＤＨ ＝ ９０°时，由对称知识可知，∠Ａ ＝ ∠ＡＤＨ，从而可以证明∠ＣＤＢ ＝ ∠Ｂ，即ＣＢ ＝ ＣＤ．过Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于Ｇ，由相似三角形的知识可求出ＢＧ ＝ ＤＧ ＝ ３．６，ＡＱ ＝ ＤＱ ＝ １．４；当∠ＣＨＤ ＝ ９０°时，由外角知识可知∠Ａ ＝ ４５°，即这种情况不存在．

课后演练 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８．点Ｑ是斜边ＡＢ上的动点，点Ｑ从Ａ向Ｂ运动，点Ｄ在射线ＡＢ上，且是点Ａ以Ｑ为对称中心的对称点， ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于点Ｈ．设ＡＱ ＝ ｘ，△ＨＤＱ与△ＡＢＣ重叠部分的面积为ｙ，求ｙ与ｘ的函数关系式，并写出ｘ的取值范围．