函数奇偶性概念教学的有效性

马丽拉 赵云河

摘要: 函数的奇偶性是函数的一个重要性质,正确地理解函数的奇偶性概念及其判别,并能灵活应用有着重要作用.文章从函数的定义域、函数的变形、含参数函数及零值函数等方面对函数奇偶性的判定中应注意的问题进行深入分析,从而达到提高概念教学有效性的教学目标.

关键词: 函数奇偶性概念教学有效性

函数奇偶性的概念,现行普通高中课程标准实验教科书是这样定义的:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.[1]

函数的奇偶性从定义上看比较简单,但其内容及变化却非常丰富,深入挖掘函数的奇偶性概念及其判别的内涵,并能灵活应用,对函数作图、性质分析等有着重要的作用,是提高概念教学有效性的重要途径.

根据现行中学数学教学大纲的要求,学生必须了解函数奇偶性的定义,掌握其常用的判定方法,但由于其定义较简单,而教材又没有作更多的分析,在具体进行函数奇偶性的判定时,出现了一些似是而非的问题和错误,在教学中有必要对一些应注意的问题作进一步的分析和说明.

一、判断函数的奇偶性应注意定义域

教材在进行函数奇偶性的定义时,完全没有涉及函数定义域的具体情况,按这样的定义不加解释地进行教学,就会使学生形成不准确的概念,认为只要形式上有f(-x)=-f(x)就是奇函数,有f(-x)=f(x)就是偶函数,而与函数的定义域没任何关系.研究函数的性质必须以函数的定义域为基础,离开定义域去研究所谓函数的性质,往往会犯错误.

事实上,设函数f(x)的定义域为D,若f(x)为奇函数或偶函数,则±x∈D必同时成立,说明D是关于原点对称的,即函数为奇函数或偶函数的必要条件是它的定义域关于原点对称.

例1:判定下列函数的奇偶性,并说明理由.

(1)f(x)=x■+3cosx(-2≤x≤3);(2)f(x)=■.

解:(1)因为f(-x)=(-x)■+3cos(-x)=x■+3cosx=f(x),所以f(x)是偶函数.

(2)因为f(-x)=■=■≠f(x)(或f(-x)),所以f(x)为非奇非偶函数.

但以上两解都错了.因为(1)中f(x)的定义域[-2,3]关于原点不对称,所以f(x)为非奇非偶函数,也可从图像上可直观地看出它的图像不是关于y轴对称的.而(2)中若先求出定义域[-1,0)∪(0,1],则x+2>0,于是f(x)=■=■,则f(-x)=■=-■=-f(x),故f(x)为奇函数.

因此,在教学中务必使学生明确:(1)如果函数f(x)的定义域不是关于坐标原点对称,那么f(x)肯定不会是奇函数或偶函数,即使从形式上看,等式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立.(2)如果函数f(x)的定义域是关于坐标原点对称,那么才用等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)进行奇偶性的判定.(3)如果已经知道函数f(x)是奇函数或偶函数,那么它的定义域一定是关于坐标原点对称的.

二、判断函数奇偶性时应注意f(-x)的变形

判断函数的奇偶性时,在定义域关于原点对称的基础上,我们用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)来确定函数f(x)奇偶性.但在有些时候,表面上f(-x)并不等于-f(x)或f(x),这时不应马上得出该函数既不是奇函数又不是偶函数的结论,而应利用一定技巧进行适当的变形,再得出最后判定结果.

例2:判断函数f(x)=ln(x+■)的奇偶性.

解:函数的定义域为(-∞,+∞),定义域关于原点对称.有

f(-x)=ln[(-x)+■]=ln(■-x)

由于f(-x)不等于-f(x)或f(x),故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.

但事实上该结论是错误的,因为有

f(-x)=ln(■-x)=ln[■]=ln(■-x)■=-ln(■-x)

所以f(x)是奇函数.

如果上式不对第二步进行变形,往往又会得出错误结论.

三、判断函数的奇偶性应注意f(x)=0的情形

例3:判定函数f(x)=■的奇偶性.

解:先求定义域.因为lgcosx≥0,即cosx≥1;又因为-1≤cosx≤1,所以cosx=1.故函数的定义域为x=2kπ(k∈Z),即定义域所对应的点集关于原点对称.又因为

f(-x)=■=■=f(x)

所以f(x)为偶函数.

上述解法看上去似乎没有什么问题,定义域也关于原点对称,函数也满足等式f(-x)=f(x),但是当x=2kπ(k∈Z)时,f(x)=0,此时上述解法就有问题了,因为有:既是奇函数又是偶函数的单值函数必为零值函数;反之,定义域关于原点对称的零值函数为既是奇函数又是偶函数.

由此可见,例3中的函数f(x)实际上是零值函数,因而它既是奇函数又是偶函数.

四、判断含参数函数的奇偶性应注意参数的分类

当函数中含有参数时,一般可对参数进行分类讨论,应该注意f(x)=0时参数满足什么条件,即什么条件下f(x)=0.

例4:判断函数f(x)=kcosx(k为参数)的奇偶性.

解:函数的定义域为x∈R.当k=0时,f(x)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数;当k≠0时,f(-x)=kcos(-x)=kcosx=f(x),故f(x)是偶函数.

综上所述,在判断函数f(x)的奇偶性时,应按下面步骤进行:(1)考虑函数f(x)的定义域,看定义域所对应的点集是否关于原点对称;(2)考虑函数f(x)是否为零值函数;(3)考虑函数f(-x)是否等于-f(x)或f(x).

遵循上述步骤就能正确判断函数的奇偶性,这在教学中应引起重视.

参考文献:

[1]课程教材研究所等.普通高中课程标准实验教科书数学(必修1)[M].北京:人民教育出版社,2007.