两类易混淆问题的分类解析

董永军

函数的存在性和任意性问题，是一种常见题型，也是高考的热点之一.它们既有区别又有联系，意义和转化方法各不相同，容易混淆.对于这类问题，利用函数的相关知识，可以把相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数最值大小的比较.下面结合实例来辨析这几种问题的转化区别.

1.？埚x∈D，？埚x∈D，使得f（x）=g（x），等价于函数f（x）在D上的值域A与函数g（x）在D上的值域B的交集不空，即A∩B≠？准.

例1：已知函数f（x）=，0），若存在x，x∈[0，1]，使得f（x）=f（x）成立，则实数a的取值范围是（）

A.（，]B.[1，2）C.[，2]D.[1，]

解：设函数f（x）与g（x）在[0，1]上的值域分别为A与B，依题意A∩B≠？准.

当x∈[0，1]时，易得A=[0，]；当x∈[0，1]时，易得B=[1-a，1-].

因为A∩B≠？准，所以0≤1-a≤或0≤1-≤，解得≤a≤2，故应选C.

2.对？坌x∈D，？埚x∈D，使得f（x）=g（x），等价于函数f（x）在D上的值域A是函数g（x）在D上的值域B的子集，即A？哿B.

例2：已知f（x）=lnx-ax（a∈R），它们的定义域都是（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，且b≠0，函数g（x）=bx-bx，若对任意的x∈（1，2），总存在x∈（1，2），使f（x）=g（x），求实数b的取值范围.

解（1）略；（2）依题意实数b的取值范围就是使得在区间（1，2）上g（x）的值域A是f（x）的值域B的子集实数b的取值范围.

当a=1，x∈（1，2）时，由f（x）=lnx-x得f′（x）=-1=<0，故f（x）在（1，2）上单调递减，所以f（2）

因b≠0，由g（x）=bx-bx得g′（x）=b（x-1）.

①当b>0，x∈（1，2）时，g′（x）>0，故g（x）在（1，2）上单调递增，所以g（1）

②当b<0，x∈（1，2）时，同上可求得b≤ln2-3.

综合①②知所求实数b的取值范围是（-∞，ln2-3]∪[3-ln2，+∞）.

3.已知f（x），g（x）是在闭区间D的上连续函，则对？坌x，x∈D使得f（x）≤g（x），等价于f（x）≤g（x）.

例3：已知f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a>0.（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x，x∈[1，e]都有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围.

解：（1）略；（2）对？坌x，x∈[1，e]，有f（x）≥g（x），等价于x∈[1，e]有f（x）≥g（x）.易得g（x）=e+1，要证x∈[1，e]时，f（x）≥g（x），即f（x）≥e+1.由上知求f（x）需对参数a进行分类讨论过程繁而长，其实可避免分类讨论，不等式恒成立问题往往转化最值问题来解决，逆向思维，由于f（x）难求，将

f（x）≥e+1退回到恒成立问题：证x∈[1，e]时，f（x）≥e+1即x+≥e+1恒成立，只需证当x∈[1，e]时，h（x）=x-（e+1）x+a≥0恒成立，只需证h（x）≥0.因为h′（x）=2x-e-1，令h′（x）=0得x=∈[1，e].当1≤x<时h′（x）<0，当0，故h（x）=h（）=a-（）≥0，所以a≥，故所求实数a的取值范围是[，+∞）.

点评：这里“另解”将不等式恒成立问题与最值问题的单向转化变成双向转化，将一个需要分类讨论的最值问题f（x）转化为另一个不需要分类讨论的最值问题h（x）≥0.

4.若对？坌x∈D，？埚x∈D，使f（x）≥g（x），等价于f（x）在D上的最小值不小于g（x）在D上的最小值即f（x）≥g（x）（这里假设f（x），g（x）存在）.

例4（2010年山东）：已知函数f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）.（1）当a≤时，讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=x-2bx+4，当a=时，若对任意x∈（0，2），存在x∈[1，2]，使f（x）≥g（x），求实数b的取值范围.

解：（1）略；（2）依题意f（x）在（0，2）上的最小值不小于g（x）在[1，2]上的最小值即f（x）≥g（x），于是问题转化为最值问题.

当a=时，f（x）=lnx-x+-1，所以f′（x）=--=，则当00，所以当x∈（0，2）时，f（x）=f（1）=-.

g（x）=x-2bx+4，①当b<1时，可求得g（x）=g（1）=5-2b，由5-2b≤-得b≥，这与b<1矛盾；②当1≤b≤2时，可求得g（x）=g（b）=4-b，由4-b≤-得b≥，这与1≤b≤2矛盾；③当b>2时，可求得g（x）=g（2）=8-4b，由8-4b≤-得b≥.

综合①②③得实数b的取值范围是[，+∞）.

由此可见，掌握这几种类型之后，此类问题便可迎刃而解。