二次函数在高中阶段的应用举例

郭丽

二次函数的相关知识，学生在初中阶段已经掌握了一部分内容，但是初中时期学生接受知识的能力有限，学习二次函数知识的方法很机械，不能从本质上加以理解和吸收.而进入高中阶段后，虽然这部分知识没有做具体的系统的学习，但是二次函数的应用却始终贯穿其中，尤其是在学习了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质后，进入到高三总复习的时候，这部分知识更是显得尤为重要，因此，对于二次函数的知识高中阶段需要作进一步地深入研究.

对于这部分知识的复习，不能简单地识记，可以结合二次函数的图像来深入研究其性质，以便灵活地应用这些相关性质.

一、从函数概念本身来深入了解二次函数的意义

初中阶段已经介绍了函数的定义，进入高中后在学习了映射的基础上，接着重新学习了函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是以二次函数为例来加以更深认识函数的概念.二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A中的元素x对应，记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).这里y=ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的像.从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

（1）已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+3).

这里不能把f(x+3)理解为x=x+3时的函数值，只能理解为自变量为x+1的对应函数值.

（2）设f(x+1)=x2－4x+1,求f(x).

这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的像是x2－4x+1，求定义域中元素x的像，其本质是求对应法则.

二、利用二次函数的图像解一元二次不等式

掌握一元二次不等式的解法是对高中学生最基本的运算要求.对于这部分知识的讲解，利用二次函数的图像最直观、最清晰，学生也容易从图像中发现一元二次不等式和二次函数的区别与联系，易于掌握，便于理解.

高中阶段涉及一元二次不等式的解法的应用很多，例如：

(1) 在区间［-1,4］上随机取一个数x,求（x+2）(x-1)≤0的概率.

(2) 求函数的定义域：y=x2-2x.

(3) 求函数f(x)=x3-3x2-10的单调区间.

三、利用二次函数的单调性求值域及最值

在学习函数的单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间－∞，－b[]2a及－b[]2a，+∞上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图像的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.

例如：画出下列函数的图像，并通过图像研究其单调性.

（1）y=x2+2|x－1|－1.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图像.

（2）设f(x)=x2－2x－1在区间［t,t+1］上的最小值是g(t).求g(t)并画出y=g(t)的图像.

解 f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2.

当1∈［t,t+1］即0≤t≤1，g(t)=－2；

当t＞1时，g(t)=f(t)=t2－2t－1；

当t＜0时，g(t)=f(t+1)=t2－2.

g(t)=t2－2,(t<0)，

-2，(0≤t≤1)，

t2－2t－1,(t>1).

四、二次函数知识的综合运用

例如：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程ゝ(x)－獂=0的两个根x1，x2满足0

(1)当x∈(0,x1)时，证明x

(2)设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明﹛0<獂[]2.

解题思路 本题要证明的是x

二次函数是贯穿初高中数学教学的重点,也是历年高考的热点,更是学生学习中的一个难点.在初、高中阶段,教材对其处理方式是不同的.初中阶段,教材是在明处让学生在全体实数上感知二次函数的整体性态;而高中阶段,教材则在暗处用后继知识不断深化对二次函数的认识和运用.因此,在高中阶段,教师应引导学生打破思维定式,用后继知识不断充实对其新的认识和理解,化暗为明,让其丰富的内涵得到充分的展现和深化二次函数.