关于函数凹性新的判别法

2012-04-29 02:51胡晓红
数学学习与研究 2012年9期
关键词:开区间

胡晓红

【摘要】本文从凹函数的定义出发研究了凹函数的充要条件,并给出凹函数新的判定法.

【关键词】凹函数;开区间;连续函数

【中图分类号】玂174.13

【文献标识码】獳オ

一、定义及引理

1905年丹麦数学家獼ensen首次给出了凹凸函数的定义,打开了研究凹凸函数的先河.由于凸分析的发展,人们对于凸函数的研究已十分透彻,而与凸函数相仿的凹函数研究得较少.本文在总结凹函数判别方法的基础上,给出了新的判别法.

定义[1] 设I为一开区间,f为定义在I上的函数,对任意的x,y∈I,λ∈[0,1],若

f((1-λ)x+λy)≥(1-λ)f(x)+λf(y),(1)

则称f为凹函数.

利用凸函数类似的方法[2],可以证明下面两个判别函数凹性的结论:

引理1 设f为开区间I的凹函数讵衭,v∈I(u

f(x)≥f(u)+f(v)-f(u)[]v-u(x-u).(2)

引理2 设f为开区间I的连续函数,f为凹函数讵衳,y∈I,有

fx+y[]2≥f(x)+f(y)[]2.(3)

二、主要结果

当选取区间I上多个变量时,我们有下列重要的定理.

定理1 设f为开区间I上的凹函数讵衳1,x2,…,x璶∈I,笑霜1,λ2,…,λ璶∈[0,1]且А苙[]k=1Е霜璳=1,有

f∑n[]k=1λ璳x璳≥∑n[]k=1λ璳f(x璳).(4)

证明 必要性():(数学归纳法)当k=2时,由定义,(4)式显然成立.设k=n-1时(4)式也成立.当k=n时,衳1,x2,…,x璶∈I,笑霜1,λ2,…,λ璶∈[0,1].

f∑n[]k=1λ璳x璳=fλ1x1+…+λ﹏-2獂﹏-2+1-∑n-2[]k=1λ璳·λ﹏-1猍]1-∑n-2[]k=1λ璳x﹏-1+λ璶[]1-∑n-2[]k=1λ璳x璶≥λ1f(x1)+…+λ﹏-2猣(x﹏-2)+1-∑n-2[]k=1λ璳fλ﹏-1猍]1-∑k=n-2[]k=1λ璳x﹏-1+λ璶[]1-∑n-2[]k=1λ璳x璶≥λ1f(x1)+…+λ﹏-2猣(x﹏-2)+λ﹏-1猣(x﹏-1)+λ璶f(x璶).

其中第一个不等号由假设k=n-1时(4)式成立可得,第二个不等号由定义可得.

充分性():笑霜1,λ2∈[0,1],衳1,x2∈I,由(4)和定义可知f为凹函数.

定理1的结论类似于凸函数中著名的獼essen不等式.下面的定理2,我们给出了与凹函数等价的新的重要条件.

定理2 设f为开区间I上的凹函数讵衳,y,z∈I,

f(x)+f(y)+f(z)[]3+fx+y+z[]3≤2[]3fx+y[]2+ゝy+z[]2+猣x+z[]2.(5)

证明 必要性():不失一般性,不妨设x≤y≤z.若﹜≤獂+y+z[]3,则y≤x+z[]2.从而x+y+z[]3≤x+x+z[]2+z[]3=x+z[]2≤z,x+y+z[]3≤x+z[]2≤y+z[]2≤z,则存在s,t∈[0,1],使得

x+z[]2=sx+y+z[]3+(1-s)z.(6)

y+z[]2=tx+y+z[]3+(1-t)z.(7)

(6)(7)两式相加可得

x+y+2z[]2=(s+t)x+y+z[]3+(2-s-t)z.

整理可得

(x+y-2z)s+t-3[]2=0.

从而x+y-2z=0或s+t-3[]2=0.若x+y-2z=0,由﹛≤獃≤z可知x=y=z,显然(5)式成立.若s+t=3[]2,由(6)(7)、引理2及定义有

fx+z[]2≥sfx+y+z[]3+(1-s)f(z).(8)

fy+z[]2≥tfx+y+z[]3+(1-t)f(z).(9)

fx+y[]2≥1[]2f(x)+1[]2f(y).(10)

式(8)~(10)相加后利用s+t=3[]2就可得(5).

充分性(幔:令y=z,则(5)式可化为

f(x)+2f(y)[]3+fx+2y[]3≤2[]32fx+y[]2+f(y).

fx+y[]2≥1[]4f(x)+3[]4fx+2y[]3.(11)

由定义及(11)可知f为凹函数.

定理2的结论可以推广到区间I上多个变量,这时我们有下列结论:

定理3 设f为定义在开区间I上的函数,若衳1,x2,…,x璶∈I(n≥3),下列不等式成立:

f(x1)+f(x2)+…+f(x璶)[]n+fx1+x2+…+x璶[]n≤2[]nfx2+x3+…+x璶[]n-1+猣x1+x3+…+x璶[]n-1+…+ゝx1+x2+…+x﹏-1猍]n-1

.(12)

则f为凹函数.

证明 令x1=x2=…=x﹏-1,则(12)可化为

(n-1)f(x1)+f(x璶)[]n+f(n-1)x1+x璶[]n≤2[]n(n-1)f(n-2)x1+x璶[]n-1+f(x1).

整理后可得

f(n-2)x1+x璶[]n-1≥n-3[]2(n-1)f(x1)+1[]2(n-1)f(x璶)+n[]2(n-1)f(n-1)x1+x璶[]n.

由于n-3[]2(n-1)+1[]2(n-1)+n[]2(n-1)=1,而且

n-3[]2(n-1)x1+1[]2(n-1)x璶+n[]2(n-1)·(n-1)x1+x璶[]n=(n-2)x1+x璶[]n-1.

由定理1可知f为凹函数.

注 释

基金项目:重庆市高等教育教学改革研究项目(0833229),重庆邮电大学青年教师科技基金项目(獳2006-57).

ァ静慰嘉南住开オ

[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义.北京:高等教育出版社,1992.

[2]J.L.W.V.Jessen,Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes, Acta Math.30(1906),175-193.

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