带电粒子在交变电场和磁场中运动归类赏析

韩玉超

（莱阳市第一中学 山东 烟台 265200）

最近几年有关带电粒子在交变电场和磁场运动的试题在各地模拟考试题中时有出现；而测验的结果往往是学生的得分率很低，成为教学中的一个新的难点．原因是多方面的的，一是学生遇到这部分题目少，见到这种题就怕；二是学生未能深入掌握带电粒子在交变电场和磁场中运动的命题特点，而教师们也往往在这方面缺乏深入研究，所以学生做了一题就懂一题．其实在高中阶段，只要掌握好这部分内容的命题特点和解题策略，是可以较容易解决这个难点的．下面结合笔者的教学实践，对这一部分内容做一个归类总结，希望起到抛砖引玉的作用．

1 组合场中 电场的电压或场强随时间周期性变化

【例1】如图1（a）所示，在真空中，有一半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距为R，板长为2R，板间的中心线O1O2与磁场的圆心O在同一直线上．有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子以速度v0从圆周上的a点沿垂直于半径O O1并指向圆心O的方向进入磁场．当从圆周上的O1点水平飞出磁场时，给M，N两板加上如图1（b）所示的电压，最后粒子刚好以平行于N板的速度从N板的边缘飞出．（不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计）

图1

（1）求磁场的磁感应强度B．

（2）求交变电压的周期T和电压U0的值．

解析：（1）粒子自a点进入磁场，从O1点水平飞出磁场，则其运动的轨道半径为R．由qvoB＝

解得

（2）粒子自O1点进入电场后恰好从N板的边缘平行极板飞出，设运动时间为t，根据类平抛运动规律有

图2

点评：带电粒子在匀强电场中偏转的运动是类平抛运动，解此类题目的关键是将运动分解成两个简单的直线运动，题中沿电场方向的分运动就是“受力周期性变化的加速运动”．

2 组合场中 磁感应强度B随时间t周期性变化

【例2】图3（a）为电视机中显像管的工作原理示意图，电子枪中的灯丝加热阴极使电子逸出，这些电子再经加速电场加速后，从O点进入由磁偏转线圈产生的偏转磁场中，经过偏转磁场后打到荧光屏MN上，使荧光屏发出荧光形成图像．不计逸出电子的初速度和重力，已知电子的质量为m、电荷量为e，加速电场的电压为U．偏转线圈产生的磁场分布在边长为l的正方形abcd区域内，磁场方向垂直纸面，且磁感应强度B随时间t的变化规律如图3（b）所示．在每个周期内磁感应强度B都是从－B0均匀变化到B0．磁场区域的左边界的中点与O点重合，ab边与OO′平行，右边界bc与荧光屏之间的距离为s．由于磁场区域较小，且电子运动的速度很大，所以在每个电子通过磁场区域的过程中，可认为磁感应强度不变，即为匀强磁场，不计电子之间的相互作用．

图3

（1）求电子射出电场时的速度大小．

（2）为使所有的电子都能从磁场的bc边射出，求偏转线圈产生磁场的磁感应强度的最大值．

（3）若所有的电子都能从bc边射出，求荧光屏上亮线的最大长度是多少．

解析：设电子射出电场的速度为v，则根据动能定理，对电子的加速过程有

（2）当磁感应强度为B0或－B0时（垂直于纸面向外为正方向），电子刚好从b点或c点射出，设此时圆周的半径为R，如图4所示．根据几何关系有

图4

电子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，因此

由于偏转磁场的方向随时间变化，根据对称性可知，荧光屏上的亮线最大长度为

点评：本题相当多的学生一看到锯齿波的磁场就怕，学生甚至看一眼就放弃，其实只要认真审题，“在每个电子通过磁场区域的过程中，可认为磁感应强度不变，即为匀强磁场”，就可将看似复杂的问题转化为常见而简单的问题．

3 叠加场中 电场强度E随时间t周期性变化

【例3】在如图5（a）所示的空间里，存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为．在竖直方向存在交替变化的匀强电场（竖直向上为正），电场大小为E．如图5（b）所示，一倾角为θ、长度足够的光滑绝缘斜面放置在此空间．斜面上有一质量为m、带电量为－q的小球，从t＝0时刻由静止开始沿斜面下滑，设第5 s内小球不会离开斜面，重力加速度为g．求：

（1）第6 s内小球离开斜面的最大距离．

（2）第19 s内小球未离开斜面，θ角应满足什么条件．

图5

解析：（1）设第1 s内小球在斜面上运动的加速度为a，由牛顿第二定律，得

第1 s末的速度为 v＝at1

因为第2 s内qE0＝mg．所以小球将离开斜面在上方做匀速圆周运动，则由向心力公式得，qv B＝圆周运动的周期为

由图6可知，小球在奇数秒内沿斜面做匀加速运动，在偶数秒内离开斜面做完整的圆周运动．

图6

所以，第5 s末的速度为

点评：本题以带电粒子在复合场中的运动为情景，结合周期性变化的电场的图像，突出了高考对读图能力、理解能力、推理能力、分析综合能力的要求，主要考查电场力公式、洛伦兹力公式、受力分析、匀加速直线运动和匀速圆周运动规律、匀速圆周运动的周期和运动时间的关系等知识点．

4 叠加场中 磁感应强度B随时间t周期性变化

【例4】如图7（a）所示，竖直挡板MN的左侧空间有方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，电场和磁场的范围足够大，电场强度的大小E＝40 N／C，磁感应强度的大小B随时间t变化的关系图像如图7（b）所示，选定磁场垂直纸面向里为正方向．在t＝0时刻，一质量m＝8×10－4kg、带电荷量q＝＋2×10－4C的微粒在O点具有竖直向下的速度v＝0．12 m／s，O′是挡板M N 上一点，直线O O′与挡板M N 垂直，取g＝10 m／s2．求：

图7

（1）微粒下一次经过直线O O′时与O点间距．

（2）微粒在运动过程中离开直线O O′的最大距离．

（3）水平移动挡板，使微粒能垂直射到挡板上，挡板与O点间的距离应满足的条件．

解析：（1）由题意知，微粒所受重力G＝mg＝8×10－3N．电场力大小F＝Eq＝8×10－3N．因此重力与电场力平衡．微粒先在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则有

则微粒在5πs内转过半个圆周，再次经过直线O O′时与O点的距离l＝2R＝1．2 m．

（2）微粒运动半周后向上匀速运动，运动的时间t＝5πs，轨迹如图8所示．

图8

位移大小x＝vt＝0．6πm＝1．88 m

微粒离开直线OO′的最大距离h＝x＋R＝2．48 m．（3）若微粒能垂直射到挡板上的某点P，P点在直线O O′下方时，挡板MN与O点间的距离应满足

L＝（4n＋1）×0．6 m （n＝0，1，2，…）

若微粒能垂直射到挡板上的某点P，P点在直线O O′上方时，挡板MN 与O点间的距离应满足

L＝（4n＋3）×0．6 m （n＝0，1，2，…）

若两式合写成L＝（1．2n＋0．6）m （n＝0，1，2，…）同样给分．

点评：本题看似很难，但当计算出带电粒子在磁场中的运动周期时，便可找出带电粒子的运动与交变磁场的周期的关系，即在交变磁场的0～5πs内，粒子偏转了180°，轨迹为半个圆，5πs～10πs内做匀速直线运动．改变磁场的方向，粒子的偏转方向则不同，从而可画出粒子的运动轨迹．

5 叠加场中 电场强度E和磁感应强度B同时随时间t周期性变化

【例5】如图9（a）所示，在以O为坐标原点的x Oy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场．一个质量m＝2×10－2kg，带电量q＝＋5×10－3C的带电小球在零时刻以v0＝40 m／s的速度从O点沿＋x方向（水平向右）射入该空间，在该空间同时加上如图9（b）所示的电场和磁场，其中电场沿－y方向（竖直向上），场强大小E0＝40 V／m．磁场垂直于x Oy平面向外，磁感应强度大小B0＝4πT．取当地的重力加速度g＝10 m／s2，不计空气阻力，计算结果中可以保留根式或π．试求：

图9

（1）12 s末小球速度的大小．

（2）在给定的x Oy坐标系中，大体画出小球在0～24 s内运动轨迹的示意图．

（3）26 s末小球的位置坐标．

解析：（1）0～1 s内，小球只受重力作用，做平抛运动．当同时加上电场和磁场时，电场力：F1＝qE0＝0．2 N，方向向上；重力：G＝mg＝0．2 N，方向向下，重力和电场力恰好平衡．此时小球只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

正好是电场、磁场同时存在时间的5倍，即在这10 s内，小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动．

所以小球在t1＝12 s时刻的速度相当于小球做平抛运动t＝2 s时的末速度．

（2）小球在24 s内的运动轨迹示意图如图10所示（圆的半径越来越大）

图10

（3）分析可知，小球26 s末与24 s末的位置相同，在26 s内小球做了t2＝3 s的平抛运动，23 s末小球平抛运动的位移大小为

此时小球的速度大小为

速度与竖直方向的夹角为θ＝53°．

此后小球做匀速圆周运动的半径

26 s末，小球恰好完成了半个圆周运动，此时小球的位置坐标

点评：本题的关键在于找出带电小球做匀速圆周运动的周期与电磁场变化周期之间的关系．从而将复杂的问题简化处理．