初中数学课堂教学中的精彩瞬间

肖建辉

摘 要：数学课堂教学一旦有了学生的积极参与，就成了学生思想交流的愉悦平台，学生在与同学、老师、教材的互动瞬间生成与发表的见解，常常显现出夺目的精彩，深透的思维。

关键词：初中数学；课堂瞬间；倾听；学生提问；学生见解；教学相长

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2012）01-0050-03

在数学课堂教学中，教师一旦真心实意地欢迎学生“插嘴”，从灵魂深处敬畏学生的发言，心悦诚服地接受学生的质疑，专注地倾听学生的意见和见解，就一定会闪现出精彩的瞬间，使学生在不期而遇的瞬间迸发出最原始、最自然的数学认知冲动和求知欲望。

一、瞬间——猝不及防，拍案惊奇

1.在谈角的平分线的概念时，蔡斯吟提出，如果从角的顶点引出两条射线，把角分成三个相等的角，那么这两条射线是否也可以叫做这个角的平分线？

由角的二等分，联想到角的三等分，这是一个自然的思维延展，但这并非每个学生，甚至教师，都能想到的。

平分的本意是平均分配。角的二等分与角的三等分，都属于平分。然而，在实际应用中，“平分”常常只指二等分，即“对半分”，如“对角线互相平分”、“线段的垂直平分线”等。

“二”在初等数学中具有特殊的、重要的地位，常被专门命名或特别对待。如二次根式的符号，直接用根号表示，免了根指数2；二次曲线还特别称作圆锥曲线；二等分点称作中点。角的二等分线就专门称作角的平分线。可以类比“线段的三等分点”，称“角的三等分线”。

2.在谈幂的运算中指数均取正整数时，陈骏松提出，2－2是什么？20.5又是什么？

由正整数指数幂的运算，联想到负整数指数幂和分数（小数）指数幂，既是超前的思考，也是自然的思考，同样也是不多学生的思考，反映了数（数的领域）的不断扩充的思想的形成，也反映了由常量变化到变量的概念的形成趋向。

3.在谈到因式分解是一种和差化积的模式变换时，高山青提出，为什么把低级运算转化为高级运算，意义何在？

化高级运算为低级运算，化高次方程为低次方程，化高阶为低阶，化未知为已知，化复杂为简单，是一种具有普遍意义的转化化归的数学方法与思想，是一种辨证的进退关系。

整式乘法与因式分解互为逆运算，显现出积化和差与和差化积两种完全相反的变换模式，转化的方向完全依数学问题或数学活动的目的和需要而定。如因式分解通常应用于分式运算或方程理论。又如幂的运算法则中的积化和差模式，以及后续学习的指数函数运算具有和差化积商的性质，对数函数运算具有积商化和差的功能。

4.在谈到运用实验的方法来研究频率与机会时，不少学生提出，很多事件出现的可能性都能知道（能想出，能算出，能看出），为什么还要做实验？

实验，不仅限于物理实验、化学实验和生物实验，实验同样适用于数学，如常用的小数实验、初始实验，概率实验更是一种常常难以替代的数学方法，如掷图钉问题，是既看不出，算不出，也想不出的。之所以对能看出、能算出、能想出的概率问题还要做实验，这是对概率实验方法及其可信度的确认，是引介新的数学方法时常用的简单背景原则。

5.在谈到平方根的概念时，王泓萍提出，某个数的平方一定是非负数，所以这个数可以是任意实数。那么实数是否与虚数相对？虚数是什么？

也许，实数之所以称为实数，正是因为出现了虚数。就好像正数之所以称为正数，也许是因为有了负数；有理数之所以称为有理数，也许是因为有了无理数。

自乘一次是非负的数即是实数，自乘一次是负的数即为虚数，实数与虚数确实是相对的。

这里提出了多值函数的问题。在中学数学主要学习单值函数，即对“第一数”使用全称量词，如“对每一个x”，或“对任意一个x”；而对“第二数”则使用存在量词且唯一，即“存在唯一的y”。也就是函数概念中的“三性”：任意性，存在性和唯一性。

8.在谈到利用图象解二元一次方程组时，骆斯航提出，一眼就能看出方程组的解，为何如此麻烦去解？

这同样是在引介新的数学方法时所采用的简单背景原则。用过去的方法能够解决的简单的问题作为尝试新方法的背景，可以容易地验证新方法的适应性和正确性。一旦遇到用过去的方法无法适用、不能解决的问题，新的方法就可能呈现有效性。如探讨超越方程的解的个数时，常常使用图象解的方法。简单背景原则也是一种辨证的进退关系。

9.在谈相似形时，许可馨提出，相似是不是只对平面图形而言的？立体的、形状一样的、大小不同的两个东西是不是相似的？在平面几何，相似的概念确实是只对平面图形而言的。如果必要，相似的概念可以“平移”到三维空间几何体。

10.在谈锐角三角函数时，黄蓓蓓提出，现在研究的是锐角三角函数，有没有钝角三角函数？陈飚则提出，为什么锐角三角函数是建立在直角三角形上，而不是建立在锐角三角形上？

任意一个三角形必有两个锐角，依第三个角的不同而划分为锐角、钝角和直角三角形三种。其中惟直角三角形中的两个锐角具有独特的互余关系，因此直角三角形的边的比例关系完全依赖于其中的一个锐角，这符合函数的概念。所谓锐角三角函数，“锐角”就是指的直角三角形中的锐角，而非锐角三角形概念中的“锐角”。因此锐角三角函数建立在直角三角形上，并为后续学习在平面直角坐标系上定义任意角（包括钝角）的三角函数奠定了根本性的、“原生态”的基础。

二、瞬间——引爆开来，星火燎原

1.在教学“把多项式a3+b2-3a2b-3ab3重新排列”时，施晓婷提出，假如还有一项c2，怎么办？谢达熙提出，假如式中含有b-1，怎么办？

多项式常常按某个字母升幂或降幂排列。例如按字母a降幂排列，那么b2和c2都视同常数项，它们两者的顺序可依照26个拉丁字母的顺序排列为b2+c2。

由正整数指数幂，超前提出负整数指数幂，源于指数降幂“规律”的联想，如3→2→1→0→－1→－2。负整数指数幂可归属于后续学习分式内容的范畴，不属于整式、多项式的范畴，因此不参与多项式的排列。

2.在谈到3ab2c3的同类项时，肖博提出，0·ab2c3是不是同类项？紧接着，高磊提出，3与3π是否同类项？陈飚提出，1与x0是否同类项？王泓萍提出，3可否看作3x0的系数？郑泽腾提出，0·xy2z可否看作次数是4的单项式？李雅辰提出，2（x+y）2与3（x+y）2可否看作同类项？

由于0的特殊性，产生了敏感的概念的边界问题。同类项本质地是一种“形式数”。按同类项的定义，3ab2c3与0·ab2c3是同类项，其中ab2c3如“铁打的营盘”，这是确定的“形式”，3和0似“流水的兵”，这是可以替换的“数”。同理，0·xy2z可以看作4次单项式。由于0乘以任何数仍得0，因此一旦改写0·ab2c3为0，那就归属于常数项。

零次幂x0产生于后续学习正整数指数幂的除法运算，即正整数指数幂“自除”一次。作为“形式数”，1与x0不宜视为同类项，同理，可以谈3x0的系数是3。不过在今后，一般地并不强调x0以独立的形式出现，而是直接定义（或规定）：x0=1（x≠0）。这样，x0就是1，3x0就是3，都是常数项。

3与3π是同类项，因为圆周率π是常数。2（x+y）2与3（x+y）2可视为“广义的”同类项，是同类项概念的延拓（或扩展）。如果作变量代换u=x+y，那么2u2与3u2就是同类项了。

3.在谈余角和补角的概念时，陈飚提出，0°角与90°角互为余角吗？谢达熙提出，角度是否有负的？如果有，那么－3°的角与93°的角是否称得上互余？蔡斯吟提出，如果三个角的和等于90°，那么它们可以叫做互为余角吗？如果两个角之和为360°，那么它们可以称作什么关系呢？

根据定义，两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，因此，0°角与90°角、－3°角与93°角都是互为余角。类似于数的扩充，后续学习角的扩充（包括负角）。在当前的学习主要是对两个锐角而言。

互余是对两个角而言的。定义互余的根本目的是两者可以互相转化，是一种可变化的不变量（即和为直角）。其在直角三角形及后续学习三角函数时都具有特殊的、重要的地位。而谈其和为直角的三个角之间的关系则较为复杂，一般没有研究价值，因此不作特别定义。

互余和互补的概念是相通的，都是一种对立的统一体。两个角的和为直角，定义为互余；两个角的和为平角，定义为互补。两个角的和为周角，也是一种“互余”或“互补”。以圆作为背景，和为周角的两个角，与和为平角或直角的两个角的一个根本不同的特征是，两角共弦。不妨以优角和劣角为例，根据最小正数定义原则，定义其公共弦与劣角对应。而劣角就化归到钝角、直角或锐角。也就是“周角”的情形可以转化化归为“平角”或“直角”的情形。因此，对和为周角的两个角，就不再定义“互余”或“互补”。

4.在谈同底数幂的乘法法则时，由“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，苏伟艺、庄江湧等提出，把“相乘”改为“相除”，则“相加”改为“相减”。紧接着，高磊、蔡荣莹提出，把“相乘”改为“乘方”，则“相加”改为“相乘”。赖婉琳还联想到“同分母分数相加，分母不变，分子相加”与上述法则对仗。

三、瞬间——精彩见解，教学相长

1.大家知道，用一副三角尺可以画出如下一些特殊角：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°。我们注意到，它们恰好构成公差为15°的等差数列，遗憾的是，在150°和180°之间刚好缺一个165°，不知如何放置三角尺才能产生，没想到有好几位同学提出来，解决了笔者多年搁置的一个困惑。即将一副三角尺的两条直角边分别重合时，那么两条斜边所夹的角（剪刀口）就是165°。

2.在谈多边形的外角和时，苏伟艺提出，正三角形的外角和是360°，长方形的外角和也是360°。凭感觉，多边形的外角和应是360°，因为边数越多，内角越大，所以外角越小，那么外角总和可能不变，还是360°。

3.在谈到轴对称时，高山青提出，似乎人们对于对称的评价极高，但从某些方面来说，对称也会给人以死板的感觉，而不均衡则更给人以自然、流畅之感。

4.在谈到圆的章导语时，骆斯航一下子列举了七点来表明圆的完美：简单之美，只用一条边就构成的图形；平和之美，中心点到圆周上任一点的距离相等；个性之美，无论怎样旋转、翻转、移动，始终是同一形状；大气之美，相同周长条件下，与其他图形比，面积最大；轻柔之美，无棱角，是为匀称、和谐，可以转动；延伸之美，所有的圆均是相似形；神秘之美，圆周率是无理数，人类永远不能精确求出。