“频率与概率的关系”教材分析及施教建议

刘海军

摘 要：准确地理解、把握教材是取得良好教学效果的基础。理解一节教材应理解该节教材在《课标》中的具体要求是什么；在整个学科体系中和在全册教材体系中的地位和作用是什么；该知识产生的背景是什么；内容上的内在逻辑顺序是什么；教材中蕴含的思想方法有哪些；教材中正文、例题、练习题、课后习题的设置意图是什么等。在深刻理解准确把握教材的基础上，遵循“学生为主体，教师为主导”“等重要教学原则实施教学。

关键词：频率与概率的关系；教材分析；施教建议

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2012）01-0045-02

准确地理解教材、把握教材是取得良好教学效果的基础。笔者以冀教版八上第19章第3节“频率与概率的关系”一节教材为例说明如何全面理解教材，参悟教材，进而准确施教。

一、宏观分析

（一）从本节教材在《课标》中的具体要求上看

1.理解当实验次数足够多时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率；

2.充分动手实验，与同学交流、讨论，加深对概率与频率定义的理解与认识，理解随机事件中隐含的确定性；

3.通过动手实验和课堂交流，提高学生交流水平，发展探索、合作精神。

（二）从本节教材在整个学科体系中的地位和作用上看

统计与概率是初中数学学习的四个板块内容之一，它与日常生活息息相关，它是伴随着新课程改革才充实到初中数学学习内容中的。概率的思想和方法是人们判断、决策日常行为的重要方法，因此对于已有一定生活经验的中学生来说，计算某件事件发生的频率及由此推断发生的概率显得尤为重要。概率的有关知识没有全部安排在一个章节中学习（分别安排在八上和九上各一章），体现了编者“分散难点，减轻负担”的思想。

本节教材内容很好地把统计思想和概率思想进行了有机整合，通过大量数据的汇总、计算、分析得出频率，进而推测概率，这是本节教材内容的主旨。教师在备课过程中要务必掌握。

（三）从本节教材在全册教材体系中的地位和作用看

冀教版八上全册共安排了7章内容，其中数与式安排了4章，图形与坐标安排了2章，统计与概率（实际上主要是概率知识）安排了1章，且安排在全册书的尾章，本节知识又是尾章中的尾节，其难度可见一斑。尽管前2节教材内容已有频率与概率的初步认识，但何时、何条件下，事件发生的频率能代替概率？如何创设合理、公正的实验方案探求事件发生的概率？这两点是本节教学的重点和难点。实验方案的优劣直接影响实验数据的准确度，进而影响事件概率的真实度。本节教材既是前面两节教材内容的延续，又是后续内容“概率的计算和估计”（九上第三十三章）学习的基础。

（四）从本节知识产生的背景上看

18世纪，法国数学家布丰和勒克莱尔提出“投针问题”即“在平面上画一组间距为d的平行线，将一根长度为l（l

二、微观分析

（一）从三小节教学内容的逻辑顺序上看

本节教材分三小节传授，每小节安排一课时的教学。在内容编排上体现了由简单到复杂：前两课时分别借助掷硬币和摸乒乓球实验体会事件发生频率的特点及频率与概率的关系，后一课时借助摸扑克牌游戏，直接计算事件（两张牌同色或不同色）发生的概率，实验对象由1枚硬币→2个乒乓球→4张扑克牌，实验内容逐渐趋向复杂；实验难度呈螺旋上升态势：第一课时实验对象是一个（1枚硬币），实验结果是2种（正面向上和反面向上）；第二课时实验对象为2个（2个乒乓球），而且是有放回实验，实验结果是3个（两球标号之和可以是2、3、4）；第三课时实验对象是4个（4张扑克牌），而且是不放回实验，实验结果是12个（略）；从问题设置上循序渐进：前两课时，伴随实验的进行，问题适时出现，不显突然，而最后一课，教学伊始，编者就将问题抛出，引导学生首先直观猜想，其次再实验探究，这样设置问题很有挑战性，符合学生的认知规律，易使学生学习时拾级而上。

（二）从本节教材蕴含的思想方法上看

在本节教材内容中，我们不难发现“统计”“转化”的思想蕴含其中。掷硬币实验正面向上次数的统计、摸球实验中两球标号之和的统计、扑克牌花色颜色同色和不同色的统计充盈在每次实验过程中，可以说统计无处不在。没有对相关数据的统计就不会做出合理的概率估计。至于转化思想，在第三课时体现得尤为明显，将扑克牌中方块2、红心2、梅花2、黑桃2分别用数字1、2、3、4替代，就是一种很好的转化，将娱乐工具用学生熟知的数字替代，探究其中任意两数的奇偶组合可能性大小，当然也可以做其它类型 的转化，如用三角形、四边形、圆、椭圆图形符号代替，判断随意抽取的两个图形同类和不同类的概率。

（三）从教材正文、例题、练习题、课后习题的设置意图上看

纵观整节教材，任意一小节的课堂练习题、课后习题都是正文引例和例题的翻版，其难度均不高于教材例题的难度，同时又是例题解题方法的有益补充，便于学生及时掌握例题揭示的实验方法，形成数学技能和经验。以第三课时为例，课后习题1、2就是教材例题的延续，习题3就是正文中引例的翻版再现，两个例题的设置旨在教会学生掌握：1.编号是处理问题的重要方法；2.构建模型进行实验是研究问题、验证观点的根本方法。纵观数学史上的每次重大发现和重大进步无不伴随大量的数学实验。

三、施教建议

（一）坚持“学生为主体，教师为主导”的教学原则

北京教育学院教授、特级教师吴松年曾说过“任何忽视学生主体地位的教学都不可能取得成功”。在本节教材的施教过程中，学生结组合作、动手实验、动手计算应贯穿课堂教学的始终，教师在学生活动中应担当组织者、指导者、引导者的角色。

问题探究伊始和结束时，教师提出有价值的问题，促使学生及时归纳总结与反思是取得良好教学效果的关键。例如在前2个课时的实验（掷硬币实验和摸乒乓球实验）探究结束时，教师适时提问：1.实验次数多与少时，事件发生的频率变化吗？2.实验次数足够多时，事件发生的频率有稳定性吗？3.实验结束后，事件发生的概率与实验开始前你的猜想一致吗？为什么？实践证明，只有在教师的引导下，学生的理性思维才能形成，才会产生“顿悟”。

（二）坚持“数学教学是数学活动的教学”的教学原则

《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程”。一切教学活动应以良好的、有效的数学活动贯穿课堂教学的始终。实施本节教材教学时，学生应进行掷硬币、摸球、摸牌等实验，让学生感受到数学学习的趣味性、合作学习的重要性。在课堂上，学生的动手实验、讨论质疑、辩论说理等活动应是一道亮丽的风景。

（三）坚持“实验是解决复杂数学问题的重要方法”的教学原则

无论深邃的数学问题，还是鲜活的生活问题，当理性思维难以破解时，及时构建模型实施实验是解决问题的重要方法。如在第3课时摸牌问题中，学生的直觉思维认为“任意抽出的两张牌要么花色颜色相同，要么相反，只有这两种情况，因此认定成功和失败的概率各为1/2”（受掷硬币实验时，只有“正面向上”和“反面向上”两种结果这一思维定势的影响）。殊不知这样的直觉思维是错误的，而澄清错误认识的一个重要方法是使学生亲身经历实验，通过实验结果修正自己的判断。再如掷一枚图钉，钉尖着地与钉帽着地的概率一样大吗？若不一样，概率分别是多少？诸如此类问题，唯有通过大量实验，才能获取可靠答案。

（四）坚持“以问题为载体创设教学活动”的教学原则

数学教学本质上就是数学问题的教学。来自数学学科内部的问题和生活中的问题为数学教学提供了原动力。学生的能力和解题经验在不断解决问题中得到提升。有思维价值的问题，既能锻炼学生的直觉思维、抽象思维能力，又会对学习经验和技能进行高度整合，形成新的能力。纵观本节教材的每一课时，均以问题起始，又在实验探究结束后以“大家谈谈”“观察思考”等形式提出新的问题。在这些问题的不断解决中，学生的经验与技能得到完美升华。