一种证明连续函数性质方法的再应用

邓俊谦，乔 铁

(郑州铁路职业技术学院，河南 郑州 450052)

引理1：若函数f(x)在含有点x0的某区间上连续，并且f(x0)≠0，那么当x与x0足够接近时，f(x)与f(x0)同号．

命题1(零点存在性)：若函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，f(a)和 f(b)异号，则在(a，b)内至少有一点 ξ，使得 f(ξ)=0．

【证】(采用反证)设在命题条件下f(x)在(a，b)内任何点的值都不等于零，且不妨假定f(a)＞0，f(b)＜0．

设集合 E={t|t∈(a，b］，对一切 x∈［a，t］，f(x)＞0}．

第一步，证明E非空．

因f(x)在点a连续且f(a)＞0，由引理1知，存在δ＞0，当x－a＜δ且x∈［a，b］时，f(x)＞0(假定a+δ＜b)．任取 t0∈(a，a+ δ)，则当 x∈［a，t0］时，f(x)＞0．又 t0∈(a，b］，故 t0∈E，E 非空．

第二步，证明E存在上确界，且sup E∈E．

因为对一切 t∈E⇒t∈(a，b］⇒t≤b⇒E 有上界，又E非空，故必存在上确界．令sup E=c，则c≤b．

因f(x)在点c连续，且f(c)≠0(由假设知)，由引理1知，存在 δ′＞0，当|x－c|＜δ′且 x∈［a，b］时，f(x)与 f(c)同号．若 f(c)＜0，则当|x－c|＜δ′且 x∈［a，b］时，f(x)＜0．因 c为 E 之上确界，故 A=E∩(c－ δ′，c］非空．取 t′∈A，则 f(t′)＞0，与上述矛盾，故f(c)＞0，且对一切 x∈(c－δ′，c］，f(x)＞0．从而对一切 x∈［a，c］，f(x)＞0，又 c∈(a，b］，故 c∈E．

第三步，证明c=b．

若c＜b，不妨假定上一步证明中的δ′满足c+δ′≤b，那么由上一步证明可知，对一切 x∈［a，c+δ′］，f(x)＞0．取 t1∈(c，c+δ′)，则对一切 x∈［a，t1］，f(x)＞0．又t1∈(a，b］，故t1∈E，但 t1＞c，这与 c为 E 之上确界矛盾，故必有c=b，从而b∈E，f(b)＞0．这与假定 f(b)＞0矛盾．所以必存在点 ξ∈(a，b)，使得 f(ξ)=0．

命题1得证．

引理2：若函数 f(x)在闭区间［a，b］上连续，则它在该区间上必能达到自己的上确界及下确界

命题2：若函数 f(x)在闭区间［a，b］上连续，则函数

下面只给出m(x)连续的证明，类似地可以证明M(x)的连续性，本文略．

【证】设集合 E={t|t∈(a，b］，m(x)在［a，t］上连续}．

第一步，证明E非空．

因f(x)在点a连续，故对任给的ε＞0，存在δ0＞0(假定 a+δ0＜b)，当时0≤x－a＜δ0，有

0000时，有0≤x－a＜ δ0，0≤x0－a ＜ δ0，且|x－x0|＜ δ0．因 f(x)在［a，x0］、［a，x］上均连续，故由引理 2 及(1)式可得

于是

这就证明了 m(x)在［a，t0］上连续，又 t0∈(a，b］，故t0∈E，E 非空．

第二步，证明E存在上确界，且sup E∈E．

因为对一切 t∈E⇒t∈(a，b］⇒t≤b⇒E 有上界，又E非空，故必存在上确界．令sup E=c，则c≤b．

因f(x)在点c连续，故对任给的ε＞0，存在δ1＞0，当|x－c|＜δ1时，有

因 f(x)在［a，c］上连续，由引理 2，f(x)在［a，c］上必能达到其下确界．共有两种情形：

1．f(x)在［a，c］上的下确界在点 c达到，即 m(c)=f(c)．任取 x0∈(c－ δ1，c］，则当 x∈(c－ δ1，c］时，有|x－ x0|＜ δ1．又因 m(x)≤f(x)，m(x0)≤f(x0)，m(x)≥m(c)，m(x0)≥m(c)，所以由(2)式得

2．f(x)在［a，c］上的下确界在点 x1(a≤x1＜c)达到，即m(c)=f(x1)．在这种情形下，当 x1＜x＜c时，m(x)为常数，即恒有 m(x)=m(c)．因此，当 x0，x∈(c－δ1，c］(不妨假定 c－ δ1≥)时，有|x－ x0|＜δ1，且(3)、(4)、(5)三式均成立．这就证明了 m(x)在(c－ δ1，c］上连续．由 c为 E 之上确界可知，A=E∩(c－δ1，c］非空．取 t1∈A，则 m(x)在［a，t1］上连续．从而 m(x)在［a，c］上连续，又 c∈(a，b］，故 c∈E．

第三步，证明c=b．

即m(x)在［c，c+δ2)上连续．因第二步已证明m(x)在上［a，c］连续，所以m(x)在［a，c+δ2)上连续．

取 t′∈(c，c+ δ2)，则 m(x)在［a，t′］上连续，而t′∈(a，b］，所以 t′∈E，但 t′＞ c，这与 c 为 E 之上确界矛盾，故必有 c=b，于是，b∈E，所以 m(x)在［a，b］上连续．

命题2得证．

吉米多维奇．数学分析习题集［M］．北京．高等教育出版社，2010．