偏序半群的n素理想、偏序同态与商序同态

邵海琴，郭莉琴，何建伟，杨随义

(天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741006)

偏序同态和商序同态是偏序半群中一个重要的研究课题，许多学者都对其进行了深入细致的研究。而偏序半群的一些重要概念在偏序半群各类问题特别是与偏序同态和商序同构有关的问题的研究中起着举足轻重的作用［1－5］。文献［1］通过拟序，主要讨论了偏序半群的拟序和同态之间的关系;文献［2］通过商拟序，给出了商序同态基本定理，并得到了商拟序和商序同态的一些重要性质;文献［3］利用半拟序，给出了偏序半群的偏序扩张与有限全序扩张的方法;文献［4］利用自然序半格拟序，研究了偏序半群的真滤子并构造了最小自然序半格拟序;文献［5］利用偏序半群的一些特殊二元关系(拟序、商拟序、可消拟序和同余)和σ－全子半群，给出了偏序半群的同态的一些重要性质和商序同态的一些重要性质，同时分析了它们之间的区别。本文通过可换偏序半群的素理想和n素理想，刻画了偏序半群的偏序同态与商序同态的一些重要性质，并得到了一些重要的结论。

1 预备知识

定义 1.1［6］如果(S，·)是半群［7］，(S，≤)是偏序集且偏序对乘法运算是相容的，即

定义 1.2［2］设(S，·≤)是偏序半群，φ≠L⊆S。若L满足

则称L是S的左(右)理想。若L既是S的左理想又是S的右理想，则称L为S的理想。

定义1.3［3］设(S，·≤)是偏序半群，I是 S的理想。若

则称I为素的。

定义1.4［3］设(S，·≤)是偏序半群，I是 S的理想。若

显然，偏序半群S的素理想就是2素理想。

定义1.5［5］设(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群。映射φ称为S到T的同态映射，如果φ满足

若φ为S到T的同态映射，且φ是满(单)的，则称φ为S到T的满(单)同态。

定义 1.6［2］设(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群。S到T的同态映射φ称为商序同态，如果φ满足设(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群，φ 是 S 到 T的商序同态。若φ是满(单)的，则称φ是S到T的商序满(单)射;若φ是双射，则称φ是S到T的商序同构。

2 主要结果

命题2.1 设(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群，I是S的理想，φ是S到T的商序满同态。令φ(I):={b∈T|(∃y∈I)b=φ(y)}，那么 φ(I)是 T的理想。

证明 显然，φ≠φ(I)⊆T。下面证明φ(I)是T的理想。

(i)对任意的 a∈φ(I)，b∈T，由 φ 是满的和 φ(I)的定义得

对 y∈S，x∈I，因为 I是 S 的理想，所以xy∈I且yx∈I，于是由φ(I)的定义和φ是S到T的同态得

(ii)对任意的 b∈T，a∈φ(I)，由 φ(I)的定义和φ是满的得

若 b≤Ta，即 φ(y)≤Tφ(x)，则由 φ 是 S到 T 的商序同态得

于是对 a=φ(x)=φ(x1)∈φ(I)，由 φ(I)的定义得x1∈I，因为I是S的理想，所以y1∈I，从而由φ(I)的定义得 φ(y1)∈φ(I)，即 b∈φ(I)。

综上所述，φ(I)是T的理想。

证明 由命题1知φ(I)是T的理想。下面证明φ(I)是n素的。

对任意的 ai∈T(i=1，2，…，n)，由 φ 是满的得

若a1*a2*a3*…*an∈φ(I)，则由φ是S到T的同态得

于是由φ(I)的定义得x1x2…xn∈I。因为I是S的n素理想，所以集合

命题2.2 设(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群，I是T的理想，φ是S到T的偏序满同态。令φ－1(I):={x∈S|φ(x)∈I}，那么 φ－1(I)是 S 的理想。

证明显然，φ≠φ－1(I)⊆S。

(i)对任意的 x∈φ－1(I)，y∈S，由 φ－1(I)的定义和I是T的理想得φ(x)φ(y)∈I且φ(y)φ(x)∈I，于是由φ是S到T的同态得φ(xy)∈I且φ(yx)∈I。因此由 φ－1(I)的定义得 xy∈φ－1(I)且 yx∈φ－1(I)，即

(ii)对任意的x∈φ－1(I)，y∈S，由 φ 是 S到 T的同态和 φ－1(I)的定义得 φ(x)∈L，φ(y)∈T。若y≤Sx，则由φ是保序的得φ(y)≤Tφ(x)。因为I是T的理想，

所以 φ(y)∈I。从而由 φ－1(I)的定义得 y∈φ－1(I)。

综上所述，φ－1(I)是S的理想。

定理2.2 设(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是可换偏序半群，I是T的n素理想，φ是S到T的偏序满同态。令 φ－1(I):={x∈S|φ(x)∈I}，那么 φ－1(I)为S的n素理想。

证明 由命题2知φ－1(I)是S的理想。下面证明φ－1(I)是n素的。

对任意的 xi∈S(i=1，2，…，n)，令 ai= φ(xi)(i=1，2，…，n)。若 x1x2…xn∈φ－1(I)，则由 φ－1(I)的定义和φ是S到T的同态得

因为I是T的n素理想，所以集合

{a2a3…an－2an－1an，a1a3…an－2an－1an，a1a2a4…an－2an－1an，…，a1a2a3…an－2an－1}中至少有 n － 1 个元素属于I。于是由φ－1(I)的定义和φ是S到T的同态得集合

{x2x3…xn－2xn－1xn，x1x3…xn－2xn－1xn，x1x2x4…xn－2xn－1xn，…，x1x2x3…xn－2xn－1}中至少有 n － 1 个元素属于φ－1(I)，因此由定义4得φ－1(I)是 n素的。

把定理2.1和定理2.2用到素理想上即可得到下面两个推论。

推论2.1 设(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是偏序半群，I是S的素理想，φ是S到T的商序满同态。令 φ(I):={a∈T|(∃x∈I)a= φ(x)}，那么 φ(I)是T的素理想。

推论2.2 设(S，·，≤S)，(T，* ，≤T)是可换偏序半群，I是T的素理想，φ是S到T的偏序满同态。令 φ－1(I):={x∈S|φ(x)∈I)}，那么 φ－1(I)为S的素理想。

［1］kehayopulu N，Tsinglis N.Pseudoorder in ordered semigroups［J］.Semigroups Forum，1995(50):389 －392.

［2］Cao Y L.Quotient ordered homomorphisms of ordered semigroups［J］.Communications in Algebra，2003(31):5563－5579.

［3］邵海琴，薛占军，雷振亚.偏序半群的偏序扩张［J］.纯粹数学与应用数学，2008，24(4):1－6.

［4］Caoy l.Decomposition sand Pseudo－orders of ordered Semigroups［J］.Semigroups Forum，2004(68):177 － 185.

［5］邵海琴，何万生，杨随义，等.偏序半群的同态和商序同态的若干重要性质［J］.兰州理工大学学报，2011(5):137－141.

［6］谢祥云.序半群引论［M］.北京:科学出版社，2001:1－7.

［7］Howie J M.An introduction to semigroups theory［M］.London:Acad.Press，1976.