张巍
(南京市第十三中学 江苏 南京 210008)
【题目】(2011年高考福建理科综合卷第22题)如图1(a),在x>0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B.一质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O处,以初速度v0沿x轴正方向射入,粒子的运动轨迹见图(a),不计粒子的重力.
(1)求该粒子运动到y=h时的速度大小v;
图1
1)求粒子在一个周期T内,沿x轴方向前进的距离s;
2)当入射粒子的初速度大小为v0时,其y-t图像如图(c)所示,求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A,并写出y-t的函数表达式.
分析:该题考查动能定理、洛伦兹力、带电粒子在电场、磁场中的运动等知识.题中有两幅图,尤其是图1(b),许多考生感到陌生,茫然不知所措.下面将带电粒子进入复合场后的各种运动图景展示清楚,以便再遇到此类问题时,可以胸有成竹,轻松解题.
为了能借助计算机作图,故将原题中的物理量赋于数值,设电场强度E=103N/C,磁感应强度B=1.0 T,带电粒子质量m=10-5kg,电荷量q=10-2C.下面让带电粒子沿x轴正方向以不同大小的初速度v0射入复合场,观察其运动图景.
(1)设带电粒子以初速度u,从坐标原点,沿x轴正方向射入复合场时,恰好洛伦兹力与电场力大小相等,则有
quB=qE
代入数据得
u=103m/s
即v0=u时,由于电场力与洛伦兹力平衡,故粒子做匀速运动,轨迹为一条直线.
(2)如果v0=0,可设想为带电粒子在x轴上有±u的大小相等,方向相反的两个分速度.其中磁场对+u的洛伦兹力与电场力平衡,这一个分运动为以u沿x轴正方向的匀速运动,而磁场对-u的洛伦兹力作为向心力,因此,另一个分运动为匀速圆周运动,其半径可由
得
代入数据得
R1=1 m
角速度
代入数据得
ω=103rad/s
圆心O′ 沿x轴正向匀速运动,如图2所示,其坐标为O′(ut,-R1).
图2
带电粒子P除随O′ 匀速平动外,还绕O′ 做逆时针匀速圆周运动(图2).带电粒子P点运动方程为
x=ut-R1sinωt
y=R1(cosωt-1)
消去t后,可得轨迹方程(摆线)为
代入数据得
轨迹如图3中线Ⅰ.
图3
由于在y=0处P随O′ 的牵连速度与绕O′ 的相对速度大小相等、方向相反,绝对速度为零,所以,轨迹上y=0处为尖顶状.
代入数据得
R2=0.5 m
角速度
代入数据得
ω=103rad/s
P点运动方程
x=ut-R2sinωt
y=R2(cosωt-1)
轨迹方程
代入数据得
轨迹如图3中线Ⅱ.
图4
半径为
代入数据得
R3=0.5 m
角速度为
代入数据得
ω=103rad/s
P点运动方程
x=ut+R3sinωt
y=R3(1-cosωt)
轨迹方程
代入数据后(图5线Ⅰ)得
(5)若v0=2u,可将v0分解为两个+u.圆心O′ 仍然以u沿x轴正向做匀速运动,P点除随O′ 向右平动外,还绕O′ 逆时针转动.
半径为
代入数据得
R4=1 m
角速度为
代入数据得
ω=103rad/s
P点运动方程
x=ut+R4sinωt
y=R4(1-cosωt)
轨迹方程
代入数据后(图5线Ⅱ)得
在y=2 m处,由于牵连速度与相对速度大小相等、方向相反,绝对速度为零,轨迹又呈尖顶状.
(6)若v0>2u,如v0=2.5u,则可将v0分解为u和1.5u.P点绕O′ 点做逆时针圆周运动的半径为
代入数据得
R5=1.5 m
角速度为
代入数据得
ω=103rad/s
P点运动方程
x=ut+R5sinωt
y=R5(1-cosωt)
轨迹方程为
代入数据后(图5线Ⅲ)得
图5
带电粒子进入复合场的运动情境弄清楚后,再来解此高考题便一清二楚.
解析:
(1)由于只有电场力做功 ,用动能定理
可解得
(2)
2)图1(c)中轨迹线对应于v0>u,粒子绕O′ 做圆周运动,在y轴上的投影为简谐运动,振幅等于半径
简谐振动方程为
y=R(1-cosωt)=