再论“为何绳端速度如此分解”

马皓

(平顶山市第二中学 河南 平顶山 467000)

文献[1]中用简单明了的方法分析讨论了高中物理教学中的一个知识难点——绳子拉船问题．

绳子拉船问题是运动的合成与分解中的典型例子．很多学生对此问题的理解都感到非常困难，怎样使学生正确地理解和掌握这个问题呢？下面笔者就根据自己的教学经验，再讨论一下这个问题的理解及求解此问题的一些其他方法．

1 绳子拉船问题的理解

1．1 绳子拉船问题

如图1所示，在水面上方h高的岸上，某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船，如果人拉动绳子的速度大小为v，则当绳子OA与水平面的夹角为θ时，小船运动的速度为多大．

图1

1．2 常见错误及原因分析

对此问题，很多学生的常见错误是把拉动绳子的速率v沿竖直和水平两个方向分解，如图2所示，因此错误地认为船沿水面运动的速度，就是绳子沿水平方向的分速度，即

v船=vcosθ

(1)

图2

造成上述错误的原因，就是没有分清楚合运动与分运动，错误地认为与船相连的绳子沿收缩方向是合运动，小船的运动为它的分运动．实际上，绳子A端与船相连，它的实际运动与小船运动相同，也是水平向左，这才是合运动．

1．3 常规解法

如图1，当绳子拉着小船水平向左运动时，定滑轮右边的绳子运动有这样的效果：一方面，沿绳子方向收缩；另一方面，绳子绕定滑轮O顺时针转动．因此，可将绳A端(或小船)水平向左的实际运动(合运动)分解成上述两个方向的分运动，如图3所示，而沿绳子收缩方向的分速度大小等于人通过定滑轮拉动绳子的速度大小v，故小船运动的速度为

(2)

图3

1．4 问题的理解

上述的求解结果学生普遍感到难以理解．为了帮助学生更好地理解这个问题，我们就从小船运动的速度和拉动绳子的速度大小关系入手.由(2)式可知，小船运动的速度大于拉动绳子的速度，式(1)则是小于拉动绳子的速度，因此只要证明小船运动的速度大于拉动绳子的速度，问题就比较容易理解了．将绳子拉动船的过程中，绳子与水平方向的夹角设置两个特殊值来进行考虑，如图4所示，设在某时间t内，拉动船时绳子与水平面的夹角由30°增大到45°，则在这段时间内，小船前进的距离为

绳子收缩的长度为

图4

由此可得s>L，故小船运动的速度必大于人拉动绳子的速度．这样一来，学生在理解此问题时就轻松多了，就会自动排斥错误的解法，从而认可和接受正确的解法．

2 绳子拉船问题的其他求解方法

绳子拉船问题，除了上面的常规解法，还有其他一些求解方法．

2．1 功能原理法

设定滑轮的质量、滑轮与轴之间的摩擦均不计，则人在利用绕过定滑轮的绳子拉船过程中，人拉轻绳所做的功等于绳子拉船所做的功，即W人=W船，由于人拉绳与绳拉船的时间相同，则有

(3)

即P人=P船.设人对绳子的拉力为F，则绳对船的拉力大小也为F，根据功率的计算公式P=Fvcosα，有

P人=Fv

(4)

P船=Fv船cosθ

(5)

联立(3)、(4)、(5)式可得

同样，利用(3)、(4)和(5)式，也可以理解为什么船运动的速度大于人拉动绳子的速度，绳子拉船时，力与水平间有夹角，为了保证人拉绳子的功率等于绳子拉船的功率，必须使船运动的速度大于拉动绳子的速度．

2．2 导数法

如图5所示，建立一个平面直角坐标系xOy.

图5

设小船离岸的水平距离为x，绳子的长度为r，则

r2=h2+x2

对上式求时间的导数得(h为定值)

其中

由上式可得

2.3 微元法

我们常说，要给学生一杯水，教师要有一桶水.做为教师也可以从更高的层次理解此题.

由图5可得

(6)

对(6)求导，注意r，x，θ都是以时间t为变量，有

(7)

以上几种解法，构思各异，特别是功能原理法，既简单又易懂，确实是一个好方法，但此时还未讲解功率的计算公式P=Fvcosα，而微分法和导数法则要求有较高的数学知识．因此，在教学过程中应这样安排，初次讲授此问题时，只讲常规解法和问题的理解，待高三总复习时，再将这些方法全都介绍给学生，这样有利于培养学生的发散性思维和创新意识，有利于培养学生应用数学知识解决物理问题能力．

参考文献

1 方银良.为何绳端速度如此分解.物理教师，2010(2)：14