切割函数关于第二参数的分析性质

岳崇山

（河北北方学院理学院，河北 张家口075000）

双切圆技术是考察区域的边界曲线的对称性的一种重要的方法.现在，许多文献已经对曲线的双切圆进行了细致的研究，文献 ［1］中Peter J.Gibin和S.A.Brassett讨论了平面闭曲线的双切圆的存在性问题；文献 ［2］中Peter J.Gibin和Donal B.O’shea又对双切圆问题的高维情形进行了进一步的推广.在平面曲线的双切圆问题中，切割函数是一个重要工具.文献 ［3－6］从各种角度研究了切割函数的一些基本的性质，特别是文献 ［6］讨论了平面曲线的切割函数对参数s的连续性和可导性.本文将讨论切割函数对第二参数的连续性和可导性.

1 基本概念

约定r⇀（s）为平面上的Cm（m≥2）类正则曲线，参数s为弧长.定义一个集合

2 主要结果

先来考察平面曲线的切割函数对第二参数s0的连续性.

定理1 平面曲线的切割函数关于第二参数s0是连续函数.

证明 f（s0，s）是平面曲线（s）的切割函数.只需说明s0∈S是f（s0，s）的可去间断点.不妨设（s0）→（s）时，s0→s.此时，切割函数f（s0，s）的分子分母都趋于零，故可以考虑使用罗比达法则.

即f（s0，s）关于参数s0是连续函数.这样，如果视切割函数为二元函数的话，切割函数是连续的.

下面的定理考察了平面曲线切割函数关于第二参数s0的可导性.

定理2 如果平面曲线关于参数s0是Cm（m≥2）类的，那么适当地补充值之后，其切割函数关于第二参数s0是C（m－2）类的.

证明 当s∉S时，由于平面曲线r⇀（s）是Cm类的，而其切割函数的表达式为

故此时f（s0，s）关于第二参数s0也是Cm类的.

下面研究f（s0，s）在s0∈S处的可导性.

由于新的表达式中，分子分母都是关于第二参数s0C（m－2）类的，且分母有意义，故适当地补充值可以使得切割函数f（s0，s）是关于第二参数s0C（m－2）类的.

由定理1和定理2立即可得下面的推论.

推论1 如果平面曲线是光滑的，那么其切割函数对关于第二参数s0是光滑的.

结合文献 ［6］的结果，由推论1还可以得到平面曲线的切割函数的非常好的结果.

定理3 如果平面曲线是光滑的，那么其切割函数关于参数s0和参数s都是光滑的.

［1］ Giblin PJ，Brassett SA.Local sy mmetr y of plane curves［J］.Amer Mat h Month，1985，（92）：689－707

［2］ Gibin PJ，O＇shea DB.The bitangent sphere problem ［J］.Amer Math Month，1990，97 （01）：5－23

［3］ 岳崇山，宋旭华.切割函数为常值的曲线的一个结果 ［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2010，26（03）：13－15

［4］ 岳崇山.切割函数的运动不变性 ［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2010，26（05）：10－13

［5］ 岳崇山，张蒲修.切割函数与参数选择的关系 ［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2011，27（05）：10－12

［6］ 岳崇山，宋旭华，景海斌.平面曲线的切割函数的分析性质 ［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2010，26（04）：14－16