Clifford代数Cl2,1的若干性质

张桂颖,李武明

(通化师范学院 数学系,吉林 通化 134002)

Clifford代数Cl2,1是在Minkowski空间2,1上由e1,e2,e3,生成的8维实结合代数[1],其基元为

1,e1,e2,e3,e12,e13,e23,e123,

eijk=eiejek.于是元素a∈Cl2,1能惟一的表示成

a=a0+a1e1+a2e2+a12e12+

a13e13+a23e23+a123e123,

其中系数均为实数.

1 Cl2,1中元素的相关定义与性质

若令0,1,2,3分别表示1,单向量,双向量,e123的线性组合, 则a∈Cl2,1可表示成

a=0+1+2+3,Cl2,1中有三种对合运算:

(1)分次对合

(2)反衍

(3)共轭

由此我们定义与a∈Cl2,1相关的一些定义并得到一些基本性质.

定义1a∈Cl2,1,a的模:

a13e13-a23e23+a123e123;

a的虚部:Cm(a)=a-Ce(a);

映射T:Cl2,1→:

T(a)=a0a123-a1a23+a2a13-a3a12;

映射P:Cl2,1→:P(a)=|a|4-4T(a)2.

通过计算可以得到如下与a相关的性质.

|ab|2=|a|2|b|2+4T(a)T(b),

T(ab)=|a|2T(b)+|b|2T(a),

证明

(0-1-2+3)=

(0+3)2-(1+2)2=

2(a0a123-a1a23+a2a13-a3a12)e123=

|a|2+2T(a)e123.

|ab|2=|a|2|b|2+4T(a)T(b),

T(ab)=|a|2T(b)+|b|2T(a).

2 Cl2,1中元素的四阶实矩阵表示与特征方程

Cl2,0是Cl2,1的子代数,所以考虑从Cl2,0的基元对应的矩阵Mat(2,)同构嵌入到Mat(4,),从而找到Cl2,1的基元对应的矩阵.Cl2,0≅Mat(2,),且基元对应为

显然有

ei→Ai,eij→Aij,e123→A123,

其中A123=A1A2A3,Aij=AiAj,由此说明

Cl2,1≅.

观察乘法表可发现若取B1=A23,B2=A2,B3=A12,验证可得

ei→Bi,eij→Bij,e123→B123,

即Cl2,1≅.

定理2 ∀a∈Cl2,1,Cl2,1的四阶实矩阵表示为

证明选取上面取定的A1,A2,A3,代入

L(a)=a0I+a1A1+a2A2+a12A12+

a3A3+a13A13+a23A23+a123A123

即可.

定理3 设a,b∈Cl2,1,λ∈

a=b⟺L(a)=L(b),L(a+b)=L(a)+L(b)

L(λa)=λL(a),L(ab)=L(a)L(b).

定理4L(a)的特征方程为

λ2-2λ(a0+a123)+|a|2+2T(a)=0或

λ2-2λ(a0-a123)+|a|2-2T(a)=0

且detL(a)=|a|4-4T(a)2=P(a).

证明

|λI4-L(a)|=

(8T(a)a123-4|a|2a0)λ+|a|4-4T(a)2=

(λ2-2λa0+|a|2)2-4(T(a)-λa123)2=

(λ2-2λa0+|a|2+2T(a)-2λa123)

(λ2-2λa0+|a|2-2T(a)+2λa123)=0

所以有

λ2-2λ(a0+a123)+|a|2+2T(a)=0或

λ2-2λ(a0-a123)+|a|2-2T(a)=0.

上述两方程的解就是L(a)的特征值.

参考文献：

[1]Lounesto P.Clifford algebra and spinord[M].New York:Cambridge University Press,2001.

[2]李武明.Clifford代数与Minkowski空间的性质[J].吉林大学学报,2000,13(40).

[3]曹文胜.四维Clifford代数的相似与合相似[J].数学物理学报,2010,30A(2).

[4]陈静.四维Clifford代数的复矩阵表示及其应用[J].黑龙江大学自然科学学报,2006,23(2).

[5]李武明,张庆成.四维双曲复空间与Lorentz群[J].东北师大学报自然科学版,2005,37(2).

[6]李武明.Clifford代数上的一类矩阵[J].通化师范学院学报,2000(5).