误差理论中几个问题的讨论

方 心，张锐波

（浙江大学城市学院，浙江舟山 310015）

误差理论中几个问题的讨论

方 心，张锐波＊

（浙江大学城市学院，浙江舟山 310015）

就物理实验教材中有关误差理论概念的延伸、表达，以及有效数据的理解，分别进行了剖析，以便有利于学生学习和教师教学的参考。

误差理论；正态分布；标准误差；总不确定度；置信概率；有效数据；理解

误差理论是大学物理实验教学中的一部分重要内容，是学好大学物理实验的基础和前提。学生对这部分内容难于掌握，更难学深、学透，甚至出现理解谬误，如此必然会影响实验数据的测量、处理和结果表达。基于此，作者刻意对这些概念一一进行剖析，以从根本上引导学生弄清这些概念，以便提高学生的实验能力。

1 标准误差（ε）在正态分布曲线的位置

在对某一物理量等精度测量了n次，即xi（i＝1，2，3，…，n），则该物理量的平均值为¯x，当n取无穷大（∞）时，¯x趋近真值（x0），即式中，ε称标准误差（简称标差），f（Δx）～Δx曲线为正态分布曲线，Δx＝±ε为图中拐点处。若在正态分布曲线两边曲线内侧作切线，分别为m、m′，该点应在该切线斜率变化最大时对应的位置，分别为A、A′，这两点位置的确定，需要采用对（2）式两阶导数，并让其等于零，解得Δx值即为拐点对应的横坐标值，此处为ε′，所谓拐点就是曲线经过该点首先向上凹，随即变为向上凸。

图1 正态分布曲线

对（2）式求一阶导数得

再求二阶导数得0，得Δx＝±ε（ε≠0），由于f″（Δx）＝［f′（Δx）］′，所以，在Δx＝±ε处，是正态分布中切线斜率变化最大的点（即A、A′）。由理论推导可知标准差差为

由此，标准差ε、-ε并非图1中正态分布曲线上的位置，而应为过A、A′两点作平行于纵轴f（Δx）的两条直线（用虚线表示）l、l′，分别与横轴（Δx）交点ε′、-ε′。

由此可知，许多教科书中正态分布曲线图中所标ε、2ε、3ε与-ε、-2ε、-3ε的位置都是不正确的，应以ε′、-ε′为准来一次标注。这点在教学中一定要向同学讲明白。

2 总不确定度置信概率（P）不能采用标差（ε）进行延伸

等精度条件下，对某一待测物理量进行多次测量，在对平均值（¯x）作已定系统误差（系差）纠正作为待测物理量的测量值，而对随机误差（A类）与未定系统误差（B类）合成为不确定度分量u，即

式中，s为标准偏差，实际计算时用公式

在等精度多次测量中，正态分布曲线上若标准差系数取1、2、3，其对应区间分别为［-ε，ε］、［-2ε，2ε］、［-3ε、3ε］，它们的置信概率分别为68.3%、95.5%、99.7%。如图1所示。但是，（8）中的U＝cu（c＝1、2、3）时，在一些大学物理实验教材中，采用了标准差的延拖，即测量物理量的真值在［-u，u ］、［-2u，2u］、［-3u、3u］区间的置信概率分别也是68.3%、95.5%、99.7%，作者认为两种不同情况下置信概率的套用是不妥当的，因为ε和u是两个内涵有所不同的物理量，因此，置信概率不能采用延拖套用。

3 正态分布曲线采用对钢板不同处厚度的测量数据引入存在不妥

一些教科书中为了形象地讲解随机误差正态分布曲线规律，而采用了用螺旋测微器对同一钢板厚度进行测量的一组数据，以此来讲解和分析在等精度测量条件下，对某一物理量进行多次测量，其测量结果符合正态分布变化规律，存在原则上错误。在讨论概率密度函数方面，明显对学生有误导。所测数据见表1所示。

表1 螺旋测微器测量同一钢板厚度的数据记录

表2为对某一钢板厚度测量了200次，共15组数据xi（i＝1，2，3，…，15），分布于以0.029 mm为间隔分5.315～5.764 mm为15个小区间内，各值在各小区间重复次数用n表示，不同测量值与出现次数之关系用概率分布函数来描述，作者认为不甚妥当。原因有三：其一，正态分布曲线，是以Δx为横坐标，以f（Δx）为纵坐标，即f（Δx）～Δx的关系曲线，满足式（2）数学模型，而表中所画柱状图是相对次数（概率）～序号（与表中测量值对应）各柱体顶端中点连接的曲线，此处横坐标并非标准偏差差Δx＝xi－¯x，没有可比性；其二，正态分布曲线是指在等精度测量条件下，对同一物理量多次测量，而表中钢板厚度测量值虽然全部落入5.334～5.745 mm区间，而并非对同一物理量进行多次测量值，由于钢板各处厚度不同，故不能把不同处钢板厚度测量值看作同一物理量，因同一物理量真值是唯一的，若表中测量数据不存在系差，仅有随机误差，表中所测系列值的最大值与最小值之差0.411 mm，是螺旋测微器精度0.01 mm的41.1倍、仪器误差0.005 mm的82.2倍。因此，这样一种类比引入随机误差的正态分布规律，难免牵强附会、意义不充分，甚至会给学生引入误区；其三，表中可知所测200组数据中，所测15组数据分别与序号1、2、…15对应，即横坐标每序号将与测量值对应，各测值出现次数刚好关于最大次数32（相对次数16）为对称，作者认为这样一种分布实际上也是不存在的。因此，用此测量数据来类比正态分布曲线是不科学的、理想化的，因此，老师在教学中必须向学生给予明确强调。

图2 概率密度分布条形图

4 对不同情况下有效数字保留的理解

物理实验中有效数字的位数和数学上涵义有所差别，具体涉及物理量测量中有效数字的位数、数据处理过程中有效数字的位数、结果表达时总不确定度与测量值有效数字的位数等方面。

4.1 物理实验与数学上有效数据的运算存在着本质区别

有效数据是第一位非零数后面的所有数据个数，比如，0.302 001和163.00有效数据位数分别是6位和5位，在一般数学运算过程中没有特别规定，计算结果一般保留至小数点后面的第二位。而物理实验有效数据运算的位数有特别规定。另如数学上8.35＝8.350＝8.350 0，而物理实验8.35≠8.350≠8.350 0，等等在此就不一一列举了。

4.2 采用不同量具测量时有效数据位数的保留

在等精度测量某一物理量时，原则上应该让待测物理量有效数据位数最多，如此定能提高待测物理量的精度。比如，用迈克尔逊测量激光波长时，读尺顺序依次为主尺、副尺、游标尺，读游标尺时最后一位要估读，测得移动镜刻度一般为4～5位有效数据，若主尺读数＜10 mm为4位，凡带标尺的测量均与此相仿。

4.3 有效数据多少不同其精度不同

在使用不同精度量具测量同一待测物理量时，测得有效数字位数不同，其精度也就不同。比如，用Δ仪＝0.1 mm钢尺测量某物厚度为8.4 mm，用Δ仪＝0.02 mm游标卡尺测为8.36 mm，若用Δ仪＝0.04 mm螺旋测微器测为8.357 mm。可明显看出，用不同精度量尺测得某物厚度所得有效数据位数不同，其相对误差分别为1.2%、0.24%、0.05%。由此可见，有效数据位数多一位其相对误差就提高1个数量级。

4.4 结果表达式中总不确定度与测量值有效数据位数的保留

在直接测量某一物理量时，有效数字位数多少的确定方法，要依不同情况而定，比如，若利用最小分度0.02 mm游标卡尺在等精度条件下测量某圆柱体外径共8组数据，分别为6.942 cm、6.943 cm、6.944 cm、6.946 cm、6.941 cm、6.945 cm、6.94 2cm、6.947 cm，其平均值为6.843 75 mm，其多保留了2位，此时，绝对不能认为测量某物厚度有效数据位数为6位的。依标准偏差公式（7）算得s≈0.106 9 cm，依据公式（6）算得u≈0.107 1 cm，算得U＝cu＝0.321 3（取c＝3），由于总不确定度首位数≥3和取大优先原则，根据公式（8），则该物厚度测量结果表达式为因此，测量结果有效位数为3位。

由此可知，单次测量和多次测量有效数据有可能不同，多次测量结果的有效数据位数要依据总不确定度有效数据来确定，而单次测量仅由仪器误差确定。

5 结 论

本文论述了（1）正态分布曲线两侧对称拐点即斜率变化最大处对应横坐标Δx值为标准误差（ε），可采用对正态分布函数二次微分让其等于零求得Δx＝±ε，来确定了标准差在图中的准确位置不是图中的（-ε′，ε′），而是目前图中的准确位置（-ε′，ε′）；（2）总不确定度U＝cu（c＝1，2，3）时的置信概率根据标准差ε及2ε、3ε置信概率延拖欠妥；（3）采用对钢板厚度测量数据来引申理解正态分布曲线，存在一定的不科学性与不合理性；（4）有效数据位数保留的几种情况。指出了一些实验教材中对上述误差理论概念理解分歧与理由；作者解决了学生们学习误差理论存在的疑惑和疑难。

Discussion on Some Problems in the Error Theory

FANG Xin，ZHANG Rui-bo

（Zhejiang University；Zhejiang Zhoushan，310015）

In this paper some expressing ways and meaning extending of concept in error theory were discussed in physics experiment.The understanding on useful data were explained.For example，①the position of standard error（ε）were marked in the curve of normal distribution，②the concept of standard error were extended in discussing confidence level（P）of uncertainty degree（U），③the curve of normal distribution of the steel plate thickness were imitated by data from measuring with screw thread mirometer.I wish that the above analysis conclusion can provide some references for students and teachers in the processes of learning and teaching of physics experiments.

error theory；standard error；total uncertainty；confidence level；useful data；understandin g

O4－33

A

1007-2934（2011）06-0086-04

2011-08-31

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