一类具（拟－）Baer性的特殊Morita Context环

金海兰，朴哲林，崔海兰

（1.延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002；2.吉林市朝鲜族中学，吉林132021）

一类具（拟－）Baer性的特殊Morita Context环

金海兰1，朴哲林1，崔海兰2

（1.延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002；2.吉林市朝鲜族中学，吉林132021）

通过反例得出R为Baer环时，斜群环R＊G与固定环RG未必是Baer环的结论.进而探讨了斜群环和固定环构成（拟－）Baer环的条件.通过对Morita Context环分解，得到斜群环和固定环构成的Morita Context环作成（拟－）Baer环的条件.

Baer环；拟－Baer环；Morita Context环；斜群环；固定环；单环

0 引言

Baer环是一类经典环，其理论在数学的其他分支有着广泛的应用.所谓Baer环是指对于一个环R，如果R的非空子集（右理想）的右零化子是由幂等元生成的右理想，则称R为）Baer环［1］；如果R环的每个主右理想的右零化子是由幂等元生成的右理想，则R 称为右主拟，简记为右环［2］.Baer环的概念可以在模中推广：对于一个右模MR，如果MR的非空子集（子模）的右零化子是由幂等元生成的右理想，则称MR为模［3］；环R为环当且仅当RR为模［4］.

Morita Context理论最初是由K.Morita在文献［6］中为证明单环结构的 Wedderburn定理引进的，后来成为一个重要的研究工具，尤其是在构造环论中具有特性的环时，常用Morita Context环来构造.所谓 Morita Context指的是六位一体的代数结构（R，V，W，S，ψ，φ），其中R和S 为环，V ＝RVS为R－S双模，W ＝SWR为S－R双模，ψ∶V⊗SW →R为双模中间线性同态，φ∶W ⊗RV→S为双模中间线性同态，且对任意 ∀v，v′∈V，w，w′∈W，满足ψ（v⊗w）v′＝vφ（w⊗v′），φ（w⊗v）w′＝ wψ（v⊗ w′）［7］.

文献［5］探讨了C＊_代数A和A的自同构群G上的斜群环A＊G和固定环AG的一些性质.文献［1］证明了R为半素右.Baer环，而且还证明了存在Baer环，G为X－outer有限群时，R＊G为右p.q-没有非零挠的半素Baer环R和它的X－outer有限群G，使得R＊G不是Baer环，但未能给出斜群环和固定环的环构成条件.文献［9－10］探讨了具有一对模零同态的Morita Context环的性质，指出若R为含幺环，G为群，则为Morita Context环，但没有给出关于斜群环R＊G和固定环RG作成的Morita Context环的（拟Baer性的相关结论.本文首先通过反例给出R为Baer环时，斜群环R＊G和固定环RG未必是Baer环的结论，然后探讨了斜群环和固定环的）Baer环构成条件.进一步，通过把Morita Context环分解成有限个Baer模的直和，得出判别斜群环R＊G和固定环RG做成的Morita Context环的aer性的方法.本文中所有的环都是含幺结合环，所有的模都是酉模.

1 斜群环的（拟Baer性

定义1 设R为环，G为群，δ∶G→Aut（R）为群同态映射.令只有有限个rg≠0｝，则R＊G关于如下定义的加法和乘法和做成一个环，其中rg＝ （δ（g－1））（r），称之为斜群环.

定义2 设R为环，g∈Aut（R），如果存在单位u∈U（R），使得对任意x∈R，g（x）＝uxu－1，则称g为环R的内自同构；如果G的内自同构只有恒等映射，则称G为outer群［7］.

设R为环，如果R2≠0且R没有真理想，则称R为单环；如果环R的所有极大左理想的交集J（R）＝0，则称环R为半单环［12］.含幺单环为半单环，若R为半单环，则R为左Artinian环当且仅当它为右 Artinian环［11］.

引理1［7］设R为含幺单环，G为outer群，则R＊G为单环；若R为Artinian环，则R＊G为Artinian单环.

引理2［8］半单环为Baer环.

定理1 若R为含幺单环，G为outer群，则R＊G为Baer环.

由引理1和引理2，结论显然成立.

定义 3 设R为 半 素 环，I为R的 理 想，AnnR（I）表 示I的 零 化 子. 令U＝∪其中为R的理想且对于I，J∈U，f∈Hom（IR，RR），g∈Hom（JR，RR），定义U上的等价关系～：f～g⇔存在K∈U，使得K⊆I∩J且令，则Qr（R）关于如下定义的加法和乘法做成一个环，称之为Martindale右商环．

定义4 设R为半素环，对于g∈Aut（R），如果，则称g为X－outer自同构；如果任意1≠g∈G为X－outer自同构，则称Aut（R）的子群G为X－outer群［1］．

定理2 设R为半素环，G为X－outer群，若R为含幺单环，则R＊G为Baer环．

证明 因含幺单环为半单环，所以由引理2知定理显然成立．

2 固定环的（）Baer性

定义 设R为环，G为群，δ∶G→Aut（R）为群同态映射，令其中rg＝ （δ（g））（r），则称RG为R在G下的固定环．

例2 设R为环那么RG＝即RG表示与R中单位均可交换的元素的集合．

例3 存在一个环R为Baer环，但RG不是Baer环．设R为例1所定义的环，则U（R）＝对于若，则a＝c．由例2的结论知而RG的幂等元只有和，因此对其中e2＝e∈RG，所以RG不是Baer环．

引理3［7］若R 为含幺环，G 为群，则

设M为右R -模，如果MR≠0且M没有真子模，则称M为单模；若M可以写成一族单模的直和，则称M为半单模．

引理4［11］右Artinian含幺半单环R上的模M为半单模．

引理5［8］若R为含幺环，M为右半单R -模，则S＝End（MR）为Baer环．

定理3 设R为含幺单环，G为outer群，若R为Artinian环，则RG为Baer环．

证明 因R为含幺单环，G为outer群，所以由引理1知R＊G为单环，且R为Artinian环，故R＊G为含幺Artinian单环，因此R＊G为Artinian半单环．由引理4知RR＊G为半单模，再由引理5知End（RR＊G）为Baer环，进而由引理3知RG为Baer环．

3 斜群环和固定环做成的Morita Context环的（）Baer性

引理6［12］半单模为Baer模．

例4 设R为含幺环，G为群，易得R为RG－R＊G双模.令R＊＝ Hom（RR＊G，R＊GR＊G），那么R＊做成R＊G－RG双模.对 ∀γ，s∈R，α，β∈R＊，规定：

和RG为单环.由定理4知且为拟aer环为Baer环，

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A Class of Special Morita Context Ring with（Quasi－）Baerness

JIN Hai－lan1，PIAO Zhe－lin1，CUI Hai－lan2
（1.Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China；2.Jilin Korean Nationality Middle School，Jilin 132021，China）

We provided a counterexample to prove when R is Baer ring，R＊G and RGare not necessarily Baer ring.Accordingly，studied the conditions of ske wgroup ring and fixed ring to be（quasi－）Baer ring.By decomposing Morita Context ring we observed conditions of Morita Context ring formed of ske wgroup rings and fixed rings to be（quasi－）Baer ring.

Baer ring；quasi－Baer ring；Morita Context ring；ske wgroup ring；fixed ring；simple ring

O152.2

A

1004－4353（2011）03－0212－04

2011 -03 -26 作者简介：金海兰（1963—），女，理学博士，副教授，研究方向为代数学（环论）.

吉林省教育厅“十一五”科学技术研究资助项目（吉教科合字［2010］第272号）