葛琦,侯成敏
(延边大学理学院 数学系,吉林 延吉133002)
一类高阶的差分方程解的稳定性
葛琦,侯成敏
(延边大学理学院 数学系,吉林 延吉133002)
研究了非线性差分方程其中k∈ {2,3,…},fg是[0,+ ∞)上连续非负递增函数.证明了方程在初始条件(x0,x1,…,xk-1)∈Rk+下的解是稳定的,并且当k为偶数时,收敛到(a0,a1,…,ak-1)的解的初始点的集合是形如(y0,y1,…,yk-1)∈ [a0,+ ∞)× [a1,+ ∞)× … ×[ak-1,+ ∞)的点的集合,其中ai≥0(i=0,1,…,k-1),同时存在唯一连续增函数hi∶[ai,+∞)→ [ai-1,+ ∞),使hi(yi)=yi-1(i=1,3,…,k-1).
差分方程;收敛性;稳定性
本文受文献[1]和[2]的启发,研究了非线性差分方程
其中k∈{2,3,…},fg是[0,+∞)上连续非负递增函数.根据差分方程的实际意义,我们假设本文中的初始条件是非负的,对应初始条件的解称为源于Rk+的,其中R+表示区间[0,+∞).本文记Z+={1,2,…},Z*= {0,1,2,…}.
定理1 令f是[0,+∞)上连续非负递增函数,且存在常数ξ,c,L>0,使得f(x)≤cxL,x∈[0,ξ).现设和为差分方程
源于Rk+的2个解,则如果对任意给定的ε>0,存在δ>0,使得成立,那么有
以下分2种情况讨论:
情况1 k为偶数.i)考虑xnk+j→0,xnk+j+1→aj+1的情形,其中aj+1>0(j=0,2,…,k-2).先考虑有限项.给定ε>0,且,选择充分大的N∈Z*,使得对任意的n≥N有
现假设(ynk,ynk+1,ynk+2,…,ynk+k-1)→ (b0,b1,b2…,bk-1).由于a3>0,所以有b3>0.通过归纳可以证明
由(7)和(8)式及a1-2ε<ykN+1,得yk(N+m)+1≥ykN+1·exp{-c2εL}≥ (a1-2ε)(1-c2εL),由此推得(5)式成立.综上所述可知成立.同理可证明n≥N)成立.
ii)考虑xnk+j→aj,xnk+j+1→0的情形,其中aj>0,j=0,2,…,k-2.由于证明过程与i)类似,故省略.
iii)考虑xnk+i→0的情形,其中i=0,1,…,k-1.这里只证明存在N∈Z*,使得n>N,其他情况类似.对于任意给定的ε>0,取充分大的N∈Z*,使xkN<ε,因为x{}nk关于n递减,所以对于所有n≥N有0<xkn<ε.要想证明,只需证明-2ε<ykn<2ε(n>N),即只需证ykn<2ε(n>N).与i)中讨论类似,可知又由于y{}nk关于n递减,所以对任意的n>N有ykn<ykN<ε+xkN<2ε.因此成立.
iv)证明当k是偶数时,有且只有以上3种情况,其他的情况均不合理.
若xkn+k-1→ak-1>0,则由方程(2)必有,下证
事实上,由于xnk+(k-2)→0,所以对任意充分小的ε>0,存在充分大的N∈Z*,使得当n≥N时有xnk+(k-2)<ε.类似于(6)和(7)式的证明可得
当ε充分小时,必有因此若对所有的N∈Z+,有xkN+k-3>0,则
n是差分方程(2)若存在N∈Z+,使xkN+k-3=0,则选定y{}的1个解,使得yk-3>0,则ykN+k-3>0.由前面讨论知,若则对充分小的ε有,所以对任意的n>N有ykn+k-3<ykN+k-3<ε+xkN+k-3<2ε,即类似 于 (10)和 (11)式 的 证 明 得即产 生 矛 盾 ,因 此成立.综上所述,当k为偶数时方程(3)的解是稳定的.
情况2k为奇数.假设xnk+i→ai(n→ ∞),其中ai≥0,i=0,1,…,k-1.当ak-1≠0时,类似于情况1有:ak-2=0,ak-3≠0,ak-4=0,…,a2≠0,a1=0,a0≠0.然而由有产生矛盾 当a=0,a≠0时,用情况 中的证明方法得到a≠0,产生矛盾因此有a0=a1=a2=…=ak-1=0.此情况类似于情况1中的iii),易证结论成立,因此当k为奇数时方程(3)的解也是稳定的.
由定理1可知方程(2)的所有解是收敛的,它们或者收敛到某点(a0,0,…,ak-2,0),或者收敛到某点(0,a1,…,0,ak-1).讨论收敛域.当k为奇数时有xnk+i→0,其中i=0,1,…,k-1,所以方程(2)的源于Rk+的解的收敛域也是Rk+,因此我们只需考虑k为偶数时的情形.
定理2 考虑方程(1),其中k为偶数,f和g是[0,+∞)上连续函数,g>0,fg在[0,+∞)上递增,f非负且对任意a≥0满足条件
则有:①对于使方程(1)收敛于(a0,0,…,ak-2,0)的解的初始点的集合是形如{(y0,y1,…,且对每个yj(j=1,3,…,k-1)存在唯一连续增函数使其中aj-1≥0}的集合.② 对于使方程(1)收敛于(0,a1,…,0,ak-1)的解的初始点的集合是形如{(y0,y1,…,且对每个yj(j=1,3,…,k-1)存在唯一连续增函数hj∶[aj,+∞)→ [0,+∞),使hj(yj)=yj-1,其中aj-1≥0}的集合.为证明定理2,我们先建立一些引理.
引理1[1]若f是[0,+∞)上非负连续递增函数,且对于a=0满足(13)式,则对任意ζ>0,存在ξ>0,使得对任意x∈ [0,ξ],存在常数c>0有cxL2(0)+ζ≤f(x)≤cxL2(0)-ζ.
引理2 设序列{xn}满足定理2的条件.记且j=1,3,…,k-1),则
引理3 设f满足定理2的条件,y=x>0且y=rx>0(r>1,j=1,3,…,k-1).
引理4 设f满足定理2的条件,yj=rjxj>0且0<yj-1<xj-1(rj>1,j=1,3,…,k-1).
证明 引理1—4的证明与文献[2]中相应引理的证明类似,故证明省略.
定理2的证明 当方程(1)的解是平凡解时,定理显然成立.现讨论方程(1)的解是非平凡的情况.由引理1及f是连续的,且g>0,知fg满足定理1中f的条件.由于证明定理1的开始有:
或者
因此设(h(x),x,h(x),x,…,h(x),x)为收敛到(0,a,…,0,a)的解的初始值的集合,设是收敛到(a0,0,…,ak-2,0)的解的初始值的集合.分4步来讨论:
i)首先证明存在性.先考虑解收敛到(a0,0,…,ak-2,0)(ai≥0,i=0,2,…,k-2)的情况,即对每个xj>0(j=1,3,…,k-1),存在xi≥ai(i=0,2,…,k-2)使得(xkn,xkn+1,…,xkn+k-2,xkn+k-1)→(a0,0,…,ak-2,0)成立.显然(0,xkn+1,0,xkn+3,…,0,xkn+k-1)→ (0,x1,0,x3,…,0,xk-1).由此断言对任意δ>0,能选出足够大的x(δ)i(i=0,2,…,k-2),使得以(x(δ)0,x1,x(δ)2,x3,…,x(δ)k-2,xk-1)为初始条件经N步递推得到x(δ)kN+i>2ai(i=0,2,…,k-2)和xkN+j<δ(j=1,3,…,k-1).事实上,x(δ)kN+i=2,…,k-2),取x(δ)i≥max{2ai,1}[1+f(xi+1)g(xi+1)]N(i=0,2,…,k-2),使x(δ)kN+i>max{2ai,1}(i=0,2,…,k-2).选取足够大的N,使
为了简便,称初始值为(x0,x1,…,xk-1)的序列(xkn,xkn+1,…,xkn+k-1)的收敛性为初始值(x0,x1,…,xk-1)的收敛性.我们先考虑初始值(x(δ)kN,xkN+1,x(δ)kN+2,xkN+3,…,x(δ)kN+k-2,xkN+k-1)和(x(δ)kN,0,x(δ)kN+2,0,…,x(δ)kN+k-2,0)的收敛性.显然(x(δ)0,x1,x(δ)2,x3,…,x(δ)k-2,xk-1)和(x(δ)kN,xkN+1,x(δ)kN+2,xkN+3,…,x(δ)kN+k-2,xkN+k-1)收敛到同1个点.由于(x(δ)kN,0,x(δ)kN+2,0,…,x(δ)kN+k-2,0)是Rk+上的1个固定点,且x(δ)kN+i>2ai(i=0,2,…,k-2),则由定理1,选取充分小的δ>0,有,x1,x(δ)2,x3,…,x(δ)k-2,xk-1)和(x(δ)kN,xkN+1,必收敛到1个点,记为(b0,0,b2,0,…,bk-2,0),且bi>ai,(i=0,2,…,k-2).固定xj≥0(j=1,3,…,k-1),设x′i=inf{xi≥0∶(x0,x1,…,xk-2,xk-1)→ (c0,0,…,ck-2,0)且cj≥aj(j=0,2,…,k-2)}(i=0,2,…,k-2).由于(x(δ)0,x1,…,x(δ)k-2,xk-1)→(b0,0,…,bk-2,0),且bi>ai,(i=0,2,…,k-2),所以x′i(i=0,2,…,k-2)必存在.分两种情况讨论:
① 假设(x′0,x1,x′2,x3,…,x′k-2,xk-1)→ (b′0,0,b′2,…,b′k-2,0),且b′i≥ai(i=0,2,…,k-2).若b′i=ai(i=0,2,…,k-2),则存在性成立;若 ∃i0∈ {0,2,…,k-2}使b′i0>ai0,不失一般性,假设i0=0,则由定理1,可选取充分小的δ>0,使(x′0-δ,x1,x′2,x3,…x′k-2,xk-1)→ (b″0,0,b″2,0,…,b″k-2,0)且b″0>a0,b″i≥ai(i=2,…,k-2),那么由上可知inf{x0≥0∶(x0,x1,…,xk-2,xk-1)→ (c0,0,…,ck-2,0)且cj≥aj(j=0,2,…,k-2)}≤x′0-δ,产生矛盾,所以b′0=a0.
② 假设(x′0,x1,x′2,x3,…,x′k-2,xk-1)→ (b′0,0,b′2,0,…,b′k-2,0),且 ∃i0∈ {0,2,…,k-2}使b′i0<ai0,b′j≥aj(j∈ {0,2,…,k-2},j≠i0).不妨设i0=0,或者(x′0,x1,x′2,x3,…,x′k-2,xk-1)→ (0,b′1,0,b′3,…,0,b′k-1),且b′j≥0(j=1,3,…,k-1).则由定理1,可选取充分小的δ>0,使得或者(x′+δ0,x1,x′2,x3,…,x′k-2,xk-1)→ (b″0,0,b″2,0,…,b″k-2,0),且b″0<a0;或者(x′0+δ,x1,x′2+δ,x3,…,x′k-2+δ,xk-1)→ (0,b″1,0,b″3,…,0,b″k-1),且b″j>0(j=1,3,…,k-1).这意味着inf{x0≥0∶(x0,x1,…,xk-2,xk-1)→ (c0,0,…,ck-2,0)且cj≥aj(j=0,2,…,k-2)}≥x′0+δ,所以产生矛盾.综上存在性成立.对于以(0,a1,…,0,ak-1)(aj≥0,j=1,3,…,k-1)为收敛点的情况,证明类似.
ii)¯hj(yj)=yj-1,hj(yj)=yj-1(j=1,3,…,k-1)均为函数.先考虑解收敛到(a0,0,…,ak-2,0)(ai≥0,i=0,2,…,k-2)的情况.若xj=0(j=1,3,…,k-1),为了使(x0,x1,…,xk-2,xk-1)→(a0,0,…,ak-2,0),必有xi=ai(i=0,2,…,k-2).因此假设xj>0(j=1,3,…,k-1),xi>0(i=0,2,…,k-2),显然为使(x0,x1,…,xk-2,xk-1)→ (a0,0,…,ak-2,0)必有xi>ai(i=0,2,…,k-2).所以只需证明:对于给定的2个初始条件(x0,x1,…,xk-2,xk-1)和(y0,y1,…,yk-2,yk-1),若yj=xj,yj-1≥xj-1,且和则yj-1=xj-1(j=1,3,…,k-1).设yj-1≥rj-1xj-1(rj-1>1,j=1,3,…,k-1).由引理2有但由引理3知,当N充分大,n≥N时,又有,产生矛盾,因此yj-1=xj-1(j=1,3,…,k-1),并说明为1个函数.
对于以(0,a1,…,0,ak-1)(aj≥0,j=1,3,…,k-1)为收敛点的情况,可类似地证明hj(yj)=yj-1(j=1,3,…,k-1)为1个函数,但此时需对引理2做些改动:记a-1=ak-1.若且则
iii)(yj)=yj-1,hj(yj)=yj-1(j=1,3,…,k-1)均为单调递增函数.先考虑解收敛到(a0,0,…,ak-2,0)(aj-1>0,j=1,3,…,k-1)的情况.由方程(1)显然有(0)=aj-1,且对于每个xj>0有¯hj(xj)>aj-1(j=1,3,…,k-1),因此只需考虑初始点(x0,x1,…,xk-2,xk-1)当xi>0(i=0,1,2,…,k-1)的情况.先假设(xj-1,xj)和(yj-1,yj)是曲线¯hj上的点,且0<xj<yj和0<yj-1<xj-1(j=1,3,…,k-1),所以 ∃rj>1,使yj≥rjxj(j=1,3,…,k-1).由引理2知,对于充分大的N,当n≥N时,有又 由 引 理 4 有,产生矛盾,因此3,…,k-1)为单调递增函数.对于以(0,a1,…,0,ak-1)(aj≥0,j=1,3,…,k-1)为收敛点时,同理可证明hj(yj)=yj-1(j=1,3,…,k-1)为单调递增函数.
推论1 考虑方程(2),其中k为偶数,f是[0,+∞)上非负连续递增函数,若对任意a≥0,f满足条件
则有:①对于使方程(2)收敛于(a0,0,…,ak-2,0)的解的初始点的集合是形如{(y0,y1,…,且对每个yj(j=1,3,…,k-1)存在唯一连续增函数使其中aj-1≥0}的集合.② 对于使方程(2)收敛于(0,a1,…,0,ak-1)的解的初始点的集合是形如{(y0,y1,…,且对每个yj(j=1,3,…,k-1)存在唯一连续增函数hj∶[aj,+∞)→ [0,+∞),使hj(yj)=yj-1,其中aj-1≥0}的集合.
注[1]:如果f∈C1([0,+∞)),且满足f在[0,+∞)递增则对所有a≥0,(14)和(15)式成立.
文献[2]中列举的适合定理条件的f和g的形式同样适合本文定理2和推论1.此外,当α>0,β>0时,形如f(x)=αxβ,g(x)=c+ax(a>1,-1<c<+∞)或g(x)=c+arctanx(0<c<+∞)的函数适合定理2中f和g的条件,进而f和g的乘积也适合推论1中f的条件.
注[2]:当k=2时,方程(2)为文献[1]中的方程,因此本文的结果包含了文献[1]中的结果.
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[2]Hou Cheng-min.Convergent Properties of Solutions of Higher Order Difference Equationsxn+1=xn-k1+f(xn)g(xn)[J].延边大学学报:自然科学版,2011,37(1):30-38.
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[4]Kulenovi′c MR S,Ladas G.Dynamics of Second Order Rational Difference Equations[M].Boca Raton:Chapman& Hall/CRC,2002.
Stability Properties of a Class of Higher Order Difference Equations
GE Qi,HOU Cheng-min
(DepartmentofMathematics,Collegeofscience,YanbianUniversity,Yanji133002,China)
We studied the stability of the solution of the nonlinear difference equationsxn=wherek∈ {2,3,…},fgis a continuous nonnegative increasing functions on[0,+ ∞).Whenkis even,we sho wthat the set of initial values such that corresponding solutions of converge to(a0,a1,…,ak-1)is the set of points of the form (y0,y1,…,yk-1)∈ [a0,+∞)×[a1,+ ∞)× … × [ak-1,+ ∞)(ai≥0,i=0,1,…,k-1),moreover exist some unique continuous increasing functionshi∶[ai,+ ∞)→ [ai-1,+ ∞)such thathi(yi)=yi-1(i=1,3,…,k-1).
difference equations;nonlinear;stability
O175.8
A
1004-4353(2011)03-0201-07
2011 -04 -13
葛琦(1973—),女,副教授,研究方向为泛函分析.
国家自然科学基金资助项目(11161049);延边大学科研项目(延大科合字[2010]第004号)