三种湍流模型在跨声速绕流中的计算精度分析＊

郑秋亚，左大海，刘三阳

（1西安电子科技大学理学院，西安 710071；2长安大学理学院，西安 710064）

0 引言

在雷诺平均 Navier－Stokes（RANS）方程计算中，计算结果的精度不仅与所用格式的精度有关，而且与湍流模型对流动的模拟精度有很大的关系。目前工程中应用最为广泛的湍流模型主要包括：Spalart－Allmaras（SA）一 方 程 模 型[1]，Wilcox’s k－ω[2]（Wilcox）两方程模型和 Menter’s SST[3]（SST）两方程模型。长期以来，人们在工程应用中发现不同湍流模型表现出了不同的特性，因此研究湍流模型对流动的模拟精度，对CFD模型的选取和CFD计算精度的提高有着重要的意义。

文中以ONERA M6机翼和DLR－F6翼身组合体[4]为例，采用具有高精度和稳定性良好的Roe格式[5]，通过求解RANS方程分析SA、Wilcox和SST湍流模型对跨声速流动的模拟精度，为更高准确度湍流模型方程的建立和CFD模型的选取提供参考。

1 控制方程

控制方程为时间相关的三维守恒型RANS方程，在一般曲线坐标系下其形式为：

式中：t为时间，Q为守恒变量，E、F、G为无粘通量，Ev、Fv、Gv为粘性通量。

计算方法为格心式有限体积方法，无粘项使用Roe格式＋MUSCL插值方法[6]，粘性项使用中心差分格式，时间采用隐式LU－SGS推进方法[7]。湍流模型选用SA、Wilcox和SST三种模型。

2 湍流模型

SA模型是从经验和量纲分析出发，针对简单流动而逐渐补充发展成为适用于带有层流流动的固壁湍流流动的一方程模型。由于计算量小，鲁棒性好而成为当今应用最为广泛的一方程模型。Wilcox模型是积分到壁面的两方程涡粘性模型，在粘性子层具有较好的数值稳定性。SST模型综合了Wilcox模型和k－ε模型的优点，在靠近壁面的附面层内采用Wilcox模型，以利用湍流模型对逆压梯度比较敏感的特点，在远离附面层的流场中，采用k－ε模型，以克服 Wilcox模型对自由流条件比较敏感的缺陷。文中将这三种模型用于跨声速流动的RANS方程数值模拟，旨在研究它们在跨声速流动中的特性和计算精度。

3 计算结果与分析

3.1 ONERA－M6机翼

M6机翼是人们历来用于考察求解RANS方程

、跨声速流动条件下模型方程和湍流模型方程性能的理想算例模型。计算网格为C－O型网格，沿周向、径向和展向网格点数分别为249×65×49，计算状态为M∞＝0.84，α＝3.06°，Re＝1.172×107。

图1给出三种模型沿机翼表面2个典型站位（20%，80%）处计算压力系数分布与实验数据的比较。从图1可以看出，三种模型预测到的机翼表面压力系数分布和激波位置一致，与实验数据吻合良好。就此简单外形的算例和计算状态来说，三种湍流模型预测的压力系数分布没有明显区别。

图1 不同湍流模型压力系数分布的比较

图2是SA、Wilcox和SST三种模型的收敛历程。计算中，SA模型的CFL数最大可取到10，SST模型的CFL数可取5.5，而 Wilcox 模 型 的CFL数可取到5.3，SA模型表现出高的收敛速度和计算效率。

表1是三种模型预测到的气动力结果。从表1可以看出，三种模型的升力系数最大相差0.009；阻力系数最大相差0.0008。为定量分析湍流模型对各气动力的影响程度，文中特引入变异系数指标[8]，以SA、Wilcox和SST三种模型的计算结果构成5个具有不同平均数的气动力样本数据集，求得各参数项的变异系数。各参数项的变异系数指标表明，湍流模型对升力影响较小，对阻力特别是摩擦阻力影响较大。

图2 残值收敛历程

表1 不同湍流模型的气动力计算结果

3.2 DLR－F6翼身组合体

使用美国AIAA阻力测试小组第二届专题讨论会（DPW Ⅱ）公布的多块结构对接网格[4]，对来流马赫数M∞＝0.75，攻角a＝－0.34°，0.49°，1.23°工况的DLR－F6翼身组合体外形进行RANS方程耦合SA、Wilcox和SST三种湍流模型的全湍流计算。计算中雷诺数Re＝3.0×106（基于平均气动弦长），图3是DLR－F6翼身组合体表面网格。

图3 DLR－F6翼身组合体的表面网格

图4是三种湍流模型在不同攻角条件下，2个典型站位（37.7%，84.7%）处的机翼表面计算压力系数分布与实验数据的比较。从图4可以看出，三种湍流模型均能给出与实验数据吻合较好的压力系数分布。SA模型的压力系数分布和激波位置与SST模型的保持一致，Wilcox模型预测到的激波位置较SST模型的激波位置偏后。这种偏后程度，在相同计算条件下，随着机翼展向位置向翼梢处的推移逐渐变大；在机翼同一站位处，随着自由来流攻角的增大而增大。说明，Wilcox模型的结果受自由来流条件的影响较大。

用Cij表示表2中第i列与第j列对应数值之差的绝对值。

图4 机翼表面压力分布与实验数据的比较

表2给出了SA、Wilcox和SST三种湍流模型预测到的力和力矩系数、实验值和三种模型的气动力参数之差的绝对值。从表2可以看出，SST模型的力和力矩系数最接近实验数据，SA模型的结果处于SST和Wilcox两模型的结果之间。其中，SA模型的升力和压差阻力与SST模型的接近，而摩擦阻力与Wilcox模型的接近。不同湍流模型升力系数数据集的离散度较小，而阻力系数特别是摩擦阻力系数数据集的离散度较大。这一现象与表1中的一致，进一步表明，湍流模型对升力影响较小，而对阻力尤其是摩擦阻力影响较大。

4 结论

采用Roe格式耦合隐式LU－SGS时间推进方法，通过求解RANS方程，详细分析了SA、Wilcox和SST湍流模型在跨声速绕流中的特性和计算精度，有以下结论：

1）在跨声速流动中，SA模型的压力系数分布和激波位置与SST模型的一致，Wilcox模型的激波位置较前者偏后。这种偏后程度，在相同攻角条件下，随着机翼表面展向位置的增大而增大；在相站位处，随着攻角的增大而增大。

表2 湍流模型对气动力的影响（DLR－F6WBα＝0.49°）

2）在跨声速绕流中，SA模型表现出与SST模型相当的模拟能力。SST模型的结果与实验数据最接近，Wilcox预测的升力和摩擦阻力较大。

[1]Spalart P R，Allmaras S R.A one－equation turbulence model for aerodynamic flows，AIAA 92－0439[R].1992.

[2]Wilcox D.Reassessment of the scale－determining equation for advanced turbulence models[J].AIAA Journal，1998，26（11）：1299－1310.

[3]Menter R.Zonal two equation k－ωturbulence models for aerodynamics flows，AIAA 93－2906[R].1993.

[4]Laflin K R，Klausmeyer S M，Zickuhr T.Summary of data from the second AIAA CFD drag prediction work－shop，AIAA 04－0555[R].2004.

[5]Roe P L.Approximate Riemann solvers，parameter vectors，and difference schemes[J].Journal of Computational Physics，1981，43（2）：357－372.

[6]Van Leer B.Towards the ultimate conservative difference schemeⅢ[J].Journal of Computational Physics，1977，23（3）：263－275.

[7]Yoon S，Jameson A.Lower－upper symmetric－Gauss－Seidel method for the Euler and Navier－Stokes equations，AIAA 87－0600[R].1987.

[8]郑秋亚，刘三阳，周天孝.DLR－F6翼身组合体跨声速阻力计算[J].西安交通大学学报，2010，44（9）：115－121.