写真法、写假法探析

崔文芊

(南开大学哲学院，天津300071)

写真法、写假法探析

崔文芊

(南开大学哲学院，天津300071)

写真法和写假法是在真值表方法的基础上构造而成的一种确定真值表所对应的真值形式的方法。借助真值表方法对写真法和写假法的构造过程的合理性、有效性及特点予以探析，进而把写真法、写假法整合为一种新的方法——写真写假法。

写真法;写假法;等值

在现代逻辑中，真值表方法是判定真值形式的真值类型的一种最基本的方法，它是用真值表作为命题逻辑中确定真值形式的真值情况的一种有效的判定方法。依据这种方法，对于任一真值形式，可以根据若干特定步骤写出它的真值表，从而判定这一真值形式的类型;反过来，由任一给定的真值表亦可以确定其对应的真值形式，其常用的方法是:写真法和写假法。写真法和写假法作为现代逻辑中的一种方法是有其存在价值的，它实际上是对真值表方法的一种应用。

一、写真法和写假法的构造过程

约定:用“1”表示“真”，用“0”表示“假”。写真法的基本构成步骤如下:

在所给真值表的最后一列里，找出所有取值为1(文中已加粗)的真值。然后，在取值为1的这些行中，对于命题变元的赋值为1的，用合取符号“∧”把它与其它命题变元联结起来;对于命题变元的赋值为0的，用合取符号“∧”把它的否定与其它命题变元联结起来。最后，把所得的各部分的真值形式用析取符号“∨”联结起来，如此所得的真值形式即为该真值表所对应的真值形式。真值表表1所对应的真值形式为:(p∧┐q)∨(┐p∧q)。

真值表1

写假法的基本构成步骤如下:在所给真值表的最后一列里，找出所有取值为0(文中已加粗)的真值。然后，在取值为0的这些行中，对于命题变元的赋值为1的，用析取符号“∨”把它的否定与其它命题变元联结起来;对于命题变元的赋值为0的，则用析取符号“∨”把它与其它命题变元联结起来。然后，把所得的各部分的真值形式用合取符号“∧”联结起来，如此所得的真值形式即为该真值表所对应的真值形式。真值表表2所对应的真值形式为:(┐p∨┐q)∧(p∨q)［1］(P57)。

真值表2

二、写真法和写假法构造过程的来源及其合理性

从构成步骤来看，写真法和写假法是在真值表方法的基础上用三个真值联结词非(﹁)，合取(∧)和析取(∨)把命题变元或其否定按照一定程序联结而成的。此种方法简单易行，可操作性强，是一种很有效的方法。那么，它从何而来，其合理性何在?用此方法写出的真值形式的真值情况与真值表的真值情况完全相同吗?用写真法、写假法可以写出任一n元真值函数的真值表所对应的真值形式吗?对于这一系列问题，笔者试作如下探讨:

设F(P1，P2，…，Pn)是任一n元真值函数。显然，F(P1，…，Pn)可用2n行(2n个赋值)的真值表来表示。

对每一1≤i≤2n，令是第i行对P1，…，Pn的赋值。

对每一1≤i≤2n，令Ai形如

为了便于说明问题，此处附加一个由二元真值函数的写真法和写假法构造过程的示例。

其中，f的取值为二元真值函数所有取值中的一种。C是用写真法写出的f的真值形式，C'是用写假法写出的f的真值形式。

易证:※Ai相对Si有值1，而其它的Ah(其中1≤h≤2n且h≠i)相对Si有值0。因为合取式Ai只有在命题变元取第i行的值时取值1，而其它的合取式Ah在命题变元取第i行的值时取值0。

由于B是析取式，①当时，Ai是B的一个析取支，且根据※:Ai相对Si有值1，Ah相对Si有值0。由析取式性质可知，B相对Si有值1。②当时，Ai作为B的一个析取支，且根据※:Ai相对Si有值1，Ah相对Si有值0。由析取式性质可知，B相对Si仍有值1。

构造析取式B，意使B与F(P1，P2，…，Pn)取值相同，当时，B取值1，F(P1，P2，…，Pn)的取值与B的取值相同;当时，B仍取值1，F(P1，P2，…，Pn)的取值与B的取值相反。既然是构造，就要为了满足一定的目的有所取舍。这里的目的是使F(P1，P2，…，Pn)与B有相同的取值，可把行所对应的Ai从B中舍弃，只把的所有合取式Ai析取起来，从而得到析取式(其中1≤m≤2n且m≠n)。这样，当F时，Ai不是析取式C的一个析取支，根据※，其它的Ah相对Si有值0，所以析取式C的每一个析取支Ah取值均为0，由析取式的性质可得，C的取值为0，与F(P1，P2，…，Pn)的取值相同。

如此所构造的析取式C与F(P1，P2，…，Pn)有相同的取值，而构造C的过程实质上就是写真法的构造过程。在这个过程中，把时的Ai用析取符号联结起来，Ai是由命题变元P1，P2，…，Pn或其否定的合取。这样构造出的析取式C亦即用写真法写出的n元真值函数F(P1，P2，…，Pn)的真值表所对应的的真值形式。

同理，在F(P1，P2，…，Pn)的真值表中，对每一1≤i≤2n，令是第i行对P1，P2，…，Pn的赋值。

对每一1≤i≤2n，令Ai'形如行，当相对Si取值0时，定义为Pj;当相对Si取值1时，定义为┐Pj。

易证:Ai'相对Si有值0，而其它的Ah'(其中1≤h≤2n且h≠i)相对Si有值1。因为析取式Ai只有在命题变元取第i行的值时取值0，而其它的析取式Ah在命题变元取第i行的值时取值1。

由于B'是合取式，①当时，Ai'是B'的一个合取支，且根据:Ai'相对Si有值0，Ah'相对Si有值1。由合取式的性质可知，B'相对Si有值0。②当时，Ai'作为B'的一个合取支，且根据:A'i相对Si有值0，Ah'相对Si有值1。由合取式的性质可知，B'相对Si仍有值0。

构造合取式B'，意使B'与F(P1，P2，…，Pn)取值相同，当时，B'取值0，F(P1，P2，…，Pn)与B'的取值相同;当时，B'仍取值0，F(P1，P2，…，Pn)与B'取值相反。这里的目的是使F(P1，P2，…，Pn)与B'有相同的取值，可把行所对应的Ai'从B'中舍弃，只须把的所有析取式Ai'合取起来，从而得到合取式(其中1≤m≤2n且m≠n)。这样，当时，析取式Ai'不是合取式C'的一个合取支，

如此所构造的合取式C'与F(P1，P2，…，Pn)有相同的取值，而构造C'的过程实质上就是写假法的构造过程。在这个过程中，把时的Ai'用合取符号联结起来，Ai'则是由命题变元P1，P2，…，Pn或其否定的析取，这样构造的析取式C'亦即用写假法写出的n元真值函数F(P1，P2，…，Pn)的真值表所对应的真值形式。

综上所析，写真法、写假法构造过程的合理性证明实质上是用真值联结词﹁，∧，∨构造出真值函数F(P1，P2，…，Pn)的等值式，以此来定义任一n元真值函数F(P1，P2，…，Pn)。

三、写真法、写假法的特点

写真法、写假法从其构造过程来看，有以下几个特点。

首先，用写真法、写假法写出的真值形式和优范式的形式基本上是一致的。如果不考虑排列顺序的话，用写真法、写假法写出的真值形式正好满足优范式的条件;用写真法写出的真值形式就是优析取范式，用写假法写出的真值形式就是优合取范式。特别是一n元真值函数F(P1，P2，…，Pn)若为重言式，用写真法写出其真值表所对应的真值形式C亦即优析取范式中就有2n个简单合取支;若为不可满足式，其优析取范式不存在。反之，一n元真值函数F(P1，P2，…，Pn)若为不可满足式，用写假法写出其真值表所对应的真值形式C'亦即优合取范式中就有2n个简单析取支;若为重言式，其优合取范式不存在。因此，任一真值函数都有一个唯一的优析取范式或者一个唯一的优合取范式，这是优范式的存在唯一性定理。

其次，写真法和写假法从不同角度写出了同一真值表所对应的真值形式，所写出的这两个真值形式必定是等值的。写真法是对真值表中函数值为真的情况的反映，函数值为真的个数与写出的真值形式中析取支的个数是相同的，由此可以看出在变元的哪些取值情况下，真值形式的值为真;写假法是对真值表中函数值为假的情况的反映，函数值为假的个数与写出的真值形式中合取支的个数是相同的，由此可以看出在变元的哪些取值情况下，真值形式的值为假。从这个意义上说，写真法、写假法是另一种可以达到优范式这一标准形式的方法，而且是一种便捷可行的方法。

最后，写真法、写假法没有用其它的真值联结词，而是用﹁，∧，∨这三个真值联结词来定义任一n元真值函数是有其特殊的优越性的。由联结词﹁，∧，∨所写出的真值形式在实际操作中比较便易，并且有助于进行理论分析。从前面的特点可以看到，仅从写出的真值形式的外形上就可以看出变元和函数值的真假个数及真值情况，并且使用这三个符号使∧和∨有了对称性。

［1］李娜．现代逻辑的方法［M］．开封:河南大学出版社，1997．

［2］李小五．现代逻辑学讲义数理逻辑［M］．广州:中山大学出版社，2005．

Truth-description＆False-description

CUI Wen-qian
(Facullty of philosophy，Nankai University，Tianjin300071，China)

Truth-description and false-description are the methods to determine the truth-value form corresponding the truth table based on truth table method，this paper aims at analyzing the rationality，validity and characteristics of the process of construction，then integrating truth-description and false-description to form a new method:truth-false-description．

Truth-description;False-description;Logical equivalent

B81

A

1008—4444(2011)04—0075—03

2011－05－25

崔文芊(1987—)，男，河南周口人，南开大学哲学院逻辑学专业硕士研究生。

(责任编辑:董红克)