围绕核心 优化运算 提升想象——2011年数学高考立体几何试题评析

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(萧山区第二中学 浙江杭州 311251)

围绕核心优化运算提升想象
——2011年数学高考立体几何试题评析

●瞿少华

(萧山区第二中学 浙江杭州 311251)

1 立体几何教学和考查要求

能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象，能正确分析出图形中基本元素及其相互关系；能识别三视图所表示的几何体，理解三视图与直观图的联系；能从定义、公理、定理出发，判定并证明点、直线、平面的位置关系；会用向量方法证明直线与平面的有关命题并能求解线面角、面面角和距离；能进行较严密的推理论证和表述；能寻求合理的途径正确地进行有关计算，并能优化运算过程.

2 立体几何命题特点和知识类型

2.1 “线面垂直”的判定和证明继续作为立体几何线面位置考查的核心

直线与直线、直线与平面、平面与平面有多种位置关系，其中处于核心地位的是直线与平面垂直的判定和证明.学生学习时的主要困难之一是找不到平面的垂线.2011年数学高考中各地继续把“线面垂直”作为核心内容进行考查.

例1如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．

(1)证明：PA⊥BD；

(2)已恬PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

(2011年全国数学高考文科试题)

评析在第(1)小题中,BD⊥平面PDA为关键;在第(2)小题中,BC⊥平面PDB为关键.易得平面BCP⊥平面PDB，而在相互垂直平面内找其中一个平面的垂线是基本方法.

图1 图2

例2如图2，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．

(1)证明：SD⊥平面SAB；

(2)求AB与平面SBC所成角的大小．

(2011年全国数学高考理科试题)

评析第(1)小题的线面垂直是常规判定(经计算)和证明；第(2)小题的实质是寻找平面SBC的垂线.由AB⊥平面EDS,知可以作SF⊥平面ABCD，因此FH为平面SBC的垂线，从而AB∥FG，∠SGF即为所求.

例3如图3，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.

(1)证明：AP⊥BC.

(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.

(2011年浙江省数学高考理科试题)

评析第(1)小题的实质是证明BC⊥平面AOP.第(2)小题是证明平面BMC⊥平面AMC，因为平面MBC的垂线较容易找到(如图3中的EF)，所以只需证明平面AMC与EF平行即可，也即只需证明AM∥EF，于是

AM=AD·cos∠PAD=3.

图3 图4

2.2 在空间坐标系下，突出用方程确定点坐标和线段长度，优化运算过程

各地试题普遍运用空间向量的方法，降低了立体几何的思维难度，优化了运算和证明过程.其中较突出的方法是：用方程方法确定点的位置和线段的长度.

(1)求证：平面PAB⊥平面PAD.

(2)设AB=AP.

①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；

②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.

(2011年福建省数学高考理科试题)

消去t，得

m2-3m+4=0，

解得m∈φ，即该点不存在.

由此可见，用空间坐标系设向量建方程可以简化立体几何中一些难度较大的运算，优化判定和证明过程，但在同时对考生的运算熟练性和准确性提出相应的要求.

2.3 注重在立体几何与其他知识方法交汇点处考查

在知识方法的交汇点命题，注重知识方法的综合性和内在联系，使考查达到一定的深度，是高考命题的基本原则之一，这在立体几何试题上也得到了充分反映.譬如，四川省数学高考理科试题第15题求球内接圆柱侧面积的最大值(立体几何与不等式)，湖北省数学高考理科试题第14题求椭圆的射影图形(方程)，更是涉及立体几何与解析几何知识的交汇点：圆柱被与底面不平行的平面所截图形是椭圆，命题的意图充分体现了知识的综合和拓展.

例5如图5，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合.

(1)略.

(2)设二面角C-AF-E大小为θ，求tanθ的最小值.

(2011年湖北省数学高考理科试题)

评析如图5所示建立空间坐标系.设

则

图5 图6

2.4 继续重视推理能力的考查

立体几何与平面几何一样,是发展学生推理能力很好的载体.推理能力不仅体现在“证明”上，而且常常体现在对结果的合理推测上.

例6如图6，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.

(1)求证：DE∥平面BCP；

(2)求证：四边形DEFG为矩形；

(3)是否存在点Q，到四面体PABC的6条棱的中点距离相等？说明理由.

(2011年北京市数学高考文科试题)

评析由PC⊥AB,PA⊥BC，推测并证明PB⊥AC，进而证明相应的3个平行四边形均为矩形.又由四边形EFGD的对角线相等且相互平分来推测连结6条棱6个中点的3条对角线相交于一点，且互相平分，从而点G存在.虽然这不是一个新问题，但考生如果没有较强的推理能力要把上述论证表达清楚是有困难的.

3 亮点扫描

2011年全国各地数学高考立体几何试题有许多的亮点，值得回味.较引人注目的主要有以下2个方面.

3.1 对空间想象力的考查把无图想图与逆向思维相结合

譬如：山东省数学高考理科试题第11题中正、俯视图是2个相同的矩形(如图7所示)，则这样的三棱柱、四棱柱、圆柱是否存在？由于投影的方向没有具体限制，因而想象空间较大，考查的深度、广度也很大.类似的题目还有海南省数学高考理科试题第6题、全国数学高考理科试题第11题等.

图7 图8

3.2 尝试空间图形的“作图”

对空间图形进行一些“平行”、“垂直”、“割补”等“作图”是2011年立体几何考查引起注意的另一个方面.

例7(1)如图8，对于任意给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的4个相互平行的平面α1,α2,α3,α4，使得Ai∈αi(i=1,2,3,4)且其中每相邻2个平面间的距离都相等；(2)略.

(2011年江西省数学高考理科试题)

评析如何“找出平面”成为解题的关键.考生一般要退一步思考，α3与α1，α4等距离，则α3需经过A1A4的中点，同样α1需经过A2A3的中点N，再进一步想象A4A2的三等分点E,F，也是α1，α3必过之点.该题看似有图，实则是无图想图的深化，是考查的又一个亮点.

4 复习建议

虽然本年度立体几何试题考查难度不是很大，但对广大考生来讲，空间问题还是有一定困难的，在今后的复习中，建议重视以下方面：

4.1 突出空间“直线与平面垂直”的判定和证明

因为线面垂直知识、方法处于线线、线面、面面位置关系的交汇区域，特别是找平面的垂线思想方法要强化.无论是建立坐标系还是运用传统方法，发现线面垂直都是解决问题的关键，特别要重视垂面的寻找.传统立体几何中三垂线定理找垂面的思想方法在一定场合有必要学习研究.

4.2 要熟练掌握用向量确定点的位置和线段长度的思想及其方法

因为一方面可以优化运算及证明的过程，另一方面可以降低空间想象的难度，化繁为简，化难为易.要加强平时的限时训练，提高向量运算的准确性.同时，在向量运算中，也要防止不结合图形特征一味用代数方法，把简单的问题复杂化，例如线面平行，常常可以把平面内的平行线段找到，而不必都依赖平面法向量.

4.3 重视空间想象能力的培养，特别是逆向思维和无图想图能力的训练要进一步加强

提高学生的空间想象力是立体几何教学的基本要求和主要目标.根据当前的实际，一是要抓好“画一个好图”的意识及能力培养;二是要重视正方体、正四面体模型的观察运用，由特殊到一般的合情想象对学好立体几何是很有必要的;三是要加强无图想图时的逆向思维训练，克服以偏概全的错误，进一步优化学生的数学思维.